Упр.710 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases} x^2+y^2+3xy=-1, \\ x+2y=0; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} u+2v=4, \\ u^2+uv-v=-5. \end{cases}$$
2. Мотоциклист ехал из одного города в другой $$4\ \text{ч}$$. На обратном пути первые $$100\ \text{км}$$ он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на $$10\ \text{км/ч}$$ и поэтому на обратный путь затратил на $$30\ \text{мин}$$ больше. Найдите расстояние между городами.

1. а) Из второго уравнения системы получаем $$x=-2y.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$(-2y)^2+y^2+3y\cdot(-2y)=-1$$

   $$4y^2+y^2-6y^2=-1$$

   $$-y^2=-1,\quad y^2=1$$

   $$y=1 \text{ или } y=-1$$

   Если $$y=1,$$ то $$x=-2.$$ Если $$y=-1,$$ то $$x=2.$$

   Следовательно, решения системы: $$(-2;1)$$ и $$(2;-1).$$

2. б) Из первого уравнения выразим $$u$$:

   $$u=4-2v.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$(4-2v)^2+v(4-2v)-v=-5$$

   $$16-16v+4v^2+4v-2v^2-v=-5$$

   $$2v^2-13v+21=0$$

   $$D=13^2-4\cdot2\cdot21=169-168=1$$

   $$v_{1,2}=\frac{13\pm1}{4}$$

   $$v_1=3,\quad v_2=\frac{7}{2}$$

   Найдём $$u$$:

   при $$v=3$$: $$u=4-2\cdot3=-2$$;

   при $$v=\frac{7}{2}$$: $$u=4-2\cdot\frac{7}{2}=-3.$$

   Значит, решения системы: $$(-2;3)$$ и $$\left(-3;\frac{7}{2}\right).$$

3. Пусть скорость мотоциклиста в прямом направлении равна $$x$$ км/ч. Тогда на путь в одну сторону он затратил $$4$$ ч, значит расстояние между городами равно $$4x$$ км.

   На обратном пути первые $$100$$ км он ехал со скоростью $$x$$, а оставшийся путь — со скоростью $$x-10$$. Время обратного пути:

   $$\frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10}$$

   По условию это на $$\frac12$$ ч больше, чем $$4$$ ч:

   $$\frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10}=4+\frac12$$

   $$\frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10}=\frac92$$

   Умножим на $$2x(x-10)$$:

   $$200(x-10)+2x(4x-100)=9x(x-10)$$

   $$200x-2000+8x^2-200x=9x^2-90x$$

   $$x^2-90x+2000=0$$

   $$D=90^2-4\cdot2000=8100-8000=100$$

   $$x_{1,2}=\frac{90\pm10}{2}$$

   $$x_1=40,\quad x_2=50$$

   Тогда расстояние между городами:

   $$4\cdot40=160\text{ км},\qquad 4\cdot50=200\text{ км}$$

Ответ

а) $$(2;-1),\;(-2;1).$$

б) $$(-2;3),\;\left(-3;\frac{7}{2}\right).$$

в) $$160\text{ км}$$ или $$200\text{ км}.$$