Упр.915 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что для любых чисел $$a$$ и $$b$$ справедливо неравенство:

1. 1) $$a^2+b^2?2(a+b-1)$$;

   2) $$2a^2+5b^2?2ab$$;

   3) $$a^2+b^2?ab+a+b-1$$;

   4) $$a^2+ab+b^2?0$$;

   5) $$a^4+b^4?a^3b+ab^3$$;

   6) $$(a^2+b^2)(a^4+b^4)?(a^3+b^3)^2$$.

1. $$a^2+b^2\ge 2(a+b-1)$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$a^2+b^2-2a-2b+2\ge 0$$

   $$\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$

   Это верно при любых $$a$$ и $$b$$.

2. $$2a^2+5b^2\ge 2ab$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$2a^2-2ab+5b^2\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)^2+a^2+4b^2\ge 0$$

   Следовательно, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

3. $$a^2+b^2\ge ab+a+b-1$$

   Перенесём всё в левую часть и умножим на $$2$$:

   $$2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\ge 0$$

   $$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge 0$$

   Значит, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

4. $$a^2+ab+b^2\ge 0$$

   Преобразуем:

   $$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2$$

   Так как сумма квадратов неотрицательна, то неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

5. $$a^4+b^4\ge a^3b+ab^3$$

   Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

   $$a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge 0$$

   $$a^3(a-b)-b^3(a-b)\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge 0$$

   Следовательно, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

6. $$\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge \left(a^3+b^3\right)^2$$

   Раскроем скобки:

   $$a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6$$

   $$a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge 0$$

   $$a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge 0$$

   $$a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge 0$$

   Значит, неравенство верно при любых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

Все данные неравенства верны при любых $$a$$ и $$b$$.