Упр.862 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Доказать, что значение выражения $$n^3+3n^2+5n+3$$ делится на 3 при любом натуральном $$n$$.

Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+5n+3=n^3+6n-n+3n^2+3$$

$$=(n^3-n)+3n^2+6n+3$$

$$=n(n^2-1)+3(n^2+2n+1)$$

$$=n(n-1)(n+1)+3(n+1)^2$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных натуральных чисел, значит, оно делится на $$3$$. Слагаемое $$3(n+1)^2$$ также делится на $$3$$.

Следовательно, сумма $$n^3+3n^2+5n+3$$ делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$n^3+3n^2+5n+3$$ делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$.