Упр.831 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Разложить многочлен $$x^5+x+1$$ на два множителя с целыми коэффициентами.
2. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

Разложим многочлен на множители:

$$x^5+x+1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1$$
$$= x^5+x^4+x^3+x^2+x+1-(x^4+x^3+x^2)$$
$$= x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)$$
$$= (x^2+x+1)(x^3+1-x^2)$$
$$= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1).$$

Пусть скорость пассажира равна $$x$$ м/с, скорость эскалатора — $$y$$ м/с, длина эскалатора — $$z$$ м.

Тогда по условию:

$$\frac{z}{x}=42,\qquad \frac{z}{x+y}=24.$$

Из первого равенства:

$$z=42x.$$

Подставим во второе:

$$\frac{42x}{x+y}=24$$
$$42x=24(x+y)$$
$$42x=24x+24y$$
$$18x=24y$$
$$y=\frac{3}{4}x.$$

Если пассажир стоит на ступеньке, его скорость равна скорости эскалатора $$y$$. Тогда время спуска:

$$\frac{z}{y}=\frac{42x}{\frac{3}{4}x}=42\cdot\frac{4}{3}=56.$$

Ответ

$$(x^2+x+1)(x^3-x^2+1); \quad 56\text{ с}.$$