Упр.827 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Пусть $$a$$, $$b$$, $$c$$ — различные числа, причём $$c \ne 0$$. Доказать, что если уравнения $$x^2+ax+bc=0$$ и $$x^2+bx+ca=0$$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.
- Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $$v_0=6\ \text{м/с}$$. Определить, через сколько секунд после начала движения тело достигает наибольшей высоты, если высоту можно найти по формуле $$h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$ (ускорение свободного падения считать равным $$10\ \text{м/с}^2$$).
Обозначим корни уравнений
$$x^2+ax+bc=0$$
и
$$x^2+bx+ca=0$$
через $$x_1$$ и $$x_2$$, а общий корень — через $$c$$.
Так как уравнения имеют общий корень, подставим $$x=c$$ в оба уравнения:
$$c^2+ac+bc=0,$$
$$c^2+bc+ca=0.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ac-bc+bc-ca=0,$$
$$(a-b)(c-c)=0.$$
Значит, общий корень действительно равен $$c$$. Тогда из первого уравнения:
$$c^2+ac+bc=0,$$
$$c(c+a+b)=0.$$
Так как $$c\neq 0$$, получаем
$$a+b+c=0.$$
По теореме Виета для первого уравнения:
$$x_1x_2=bc.$$
Так как один корень равен $$c$$, то второй корень:
$$x_2=\frac{bc}{c}=b.$$
Для второго уравнения по теореме Виета:
$$x_1x_3=ca,$$
откуда второй корень равен
$$x_3=\frac{ca}{c}=a.$$
Осталось проверить, что числа $$a$$ и $$b$$ являются корнями уравнения
$$x^2+cx+ab=0.$$
Подставим $$x=a$$:
$$a^2+ca+ab=a(a+b+c)=0.$$
Подставим $$x=b$$:
$$b^2+cb+ab=b(a+b+c)=0.$$
Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ действительно являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.
Ответ
Другими корнями данных уравнений являются числа $$a$$ и $$b$$, и они являются корнями уравнения $$x^2+cx+ab=0$$.
Для задачи о движении тела:
$$h=6t-\frac{1}{2}\cdot 10t^2=-5t^2+6t.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшая высота достигается в вершине:
$$t=\frac{-6}{2\cdot(-5)}=0{,}6.$$
Ответ: $$0{,}6$$ с.
