Упр.820 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$x^2-rx-r=0$$, где $$r>0$$, то выполняется неравенство $$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3>0$$.
2. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-5x+3=0$$. Составить квадратное уравнение с корнями $$x_1^4$$ и $$x_2^4$$, не решая данное.

1) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-rx-r=0$$, где $$r>0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=r,\qquad x_1x_2=-r.$$

Тогда

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+(x_1x_2)^3.$$

Так как

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2,$$

то

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3 =(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)+(x_1x_2)^3.$$

Подставим значения:

$$= r\bigl(r^2-3(-r)\bigr)+(-r)^3 = r(r^2+3r)-r^3 = r^3+3r^2-r^3 =3r^2.$$

Так как $$r>0$$, то $$3r^2>0$$. Следовательно,

$$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3>0.$$

2) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-5x+3=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=3.$$

Найдём сумму и произведение чисел $$x_1^4$$ и $$x_2^4$$:

$$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2.$$

Сначала вычислим

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot 3=25-6=19.$$

Тогда

$$x_1^4+x_2^4=19^2-2\cdot 3^2=361-18=343.$$

А произведение:

$$x_1^4x_2^4=(x_1x_2)^4=3^4=81.$$

Искомое квадратное уравнение:

$$x^2-343x+81=0.$$

Ответ

1) $$x_1^3+x_2^3+(x_1x_2)^3=3r^2>0.$$

2) $$x^2-343x+81=0.$$