Упр.795 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Доказать, что при любом целом $$n$$ значение выражения $$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$.
- Из пункта A выходит пешеход со скоростью $$4\ \text{км/ч}$$, через $$45\ \text{мин}$$ из пункта A в том же направлении выезжает велосипедист со скоростью $$8\ \text{км/ч}$$. На каком расстоянии от пункта A велосипедист догонит пешехода?
Разложим выражение на множители:
$$n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4).$$
Сделаем замену $$n^2=x$$. Тогда
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$
Следовательно,
$$n^5-5n^3+4n=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).$$
Это произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел обязательно есть числа, кратные $$2$$, $$3$$, $$4$$ и $$5$$, значит, произведение делится на $$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$.
Теперь решим задачу о движении. Пусть пешеход был в пути $$x$$ ч, тогда велосипедист ехал $$x-\frac34$$ ч. Так как они встретились, их пройденные расстояния равны:
$$4x=8\left(x-\frac34\right).$$
Решим уравнение:
$$4x=8x-6 \\ 8x-4x=6 \\ 4x=6 \\ x=1{,}5.$$
Значит, пешеход был в пути $$1{,}5$$ ч, а велосипедист догнал его на расстоянии
$$1{,}5\cdot 4=6$$ км от пункта $$A$$.
Ответ
$$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$; велосипедист догонит пешехода на расстоянии $$6$$ км от пункта $$A$$.
