Упр.754 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Построить график функции:
   1) $$y=\sqrt{x^2}$$; 2) $$y=|x-1|$$; 3) $$y=\sqrt{x^2-6x+9}$$; 4) $$y=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}$$; 5) $$y=\sqrt{x^2-4x+4}+|x+2|$$.
2. Катер прошел $$12\ \text{км}$$ против течения реки и $$5\ \text{км}$$ по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения $$18\ \text{км}$$ по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки $$3\ \text{км/ч}$$?

1. $$y=\sqrt{x^2}=|x|.$$
   График — V-образная линия с вершиной в точке $$(0,0)$$.
2. $$y=|x-1|.$$
   Это график функции $$y=|x|$$, сдвинутый вправо на 1.
   Вершина: $$(1,0)$$.
3. $$y=\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.$$
   График — V-образная линия с вершиной в точке $$(3,0)$$.
4. $$y=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}=|x-1|+|x+1|.$$
   Рассмотрим по промежуткам:
   $$y= \begin{cases} -x+1-x-1=-2x, & x<-1,\\ 1-x+x+1=2, & -1\le x\le 1,\\ x-1+x+1=2x, & x>1. \end{cases}$$
   Значит, график состоит из двух наклонных лучей и горизонтального отрезка $$y=2$$ на промежутке $$[-1;1]$$.
5. $$y=\sqrt{x^2-4x+4}+|x+2|=\sqrt{(x-2)^2}+|x+2|=|x-2|+|x+2|.$$
   Тогда
   $$y= \begin{cases} -x+2-x-2=-2x, & x<-2,\\ 2-x+x+2=4, & -2\le x\le 2,\\ x-2+x+2=2x, & x>2. \end{cases}$$
   График имеет горизонтальный участок $$y=4$$ на промежутке $$[-2;2]$$.
6. Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
   По условию:
   $$\frac{12}{x-3}+\frac{5}{x+3}=\frac{18}{x}.$$
   Умножим на $$x(x-3)(x+3)$$:
   $$12x(x+3)+5x(x-3)=18(x^2-9).$$
   $$12x^2+36x+5x^2-15x=18x^2-162.$$
   $$17x^2+21x=18x^2-162,$$
   $$x^2-21x-162=0.$$
   $$D=21^2+4\cdot 162=441+648=1089,\qquad \sqrt{D}=33.$$
   $$x=\frac{21\pm 33}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-6 \quad \text{(не подходит)},\qquad x_2=27.$$
   Следовательно, собственная скорость катера равна $$27$$ км/ч.

Ответ

1) $$y=|x|$$; 2) $$y=|x-1|$$; 3) $$y=|x-3|$$; 4) $$y= \begin{cases} -2x, & x<-1,\\ 2, & -1\le x\le 1,\\ 2x, & x>1; \end{cases}$$ 5) $$y= \begin{cases} -2x, & x<-2,\\ 4, & -2\le x\le 2,\\ 2x, & x>2 \end{cases}$$; собственная скорость катера — $$27$$ км/ч.