Упр.646 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. $$(x-9)(2-x)=0$$
   
   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
   $$x-9=0 \quad \text{или} \quad 2-x=0$$
   $$x=9 \quad \text{или} \quad x=2$$
2. $$(x+4)(3-x)=0$$
   $$x+4=0 \quad \text{или} \quad 3-x=0$$
   $$x=-4 \quad \text{или} \quad x=3$$
3. $$2x^2-x=0$$
   $$x(2x-1)=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad 2x-1=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12$$
4. $$3x^2+5x=0$$
   $$x(3x+5)=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad 3x+5=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac53$$
5. $$1-4x^2=0$$
   $$4x^2=1$$
   $$x^2=\frac14$$
   $$x=\pm\frac12$$
6. $$9x^2-4=0$$
   $$9x^2=4$$
   $$x^2=\frac49$$
   $$x=\pm\frac23$$
7. $$\frac{5x^2-x}{x}=0, \quad x\ne 0$$
   Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
   $$5x^2-x=0$$
   $$x(5x-1)=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad 5x-1=0$$
   Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
   $$x=\frac15$$
8. $$\frac{3x^2+x}{x}=0, \quad x\ne 0$$
   $$3x^2+x=0$$
   $$x(3x+1)=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad 3x+1=0$$
   Значение $$x=0$$ не подходит, так как $$x\ne 0$$.
   $$x=-\frac13$$

1) Так как парабола проходит через точку $$(0;0)$$, то

$$c=0.$$

Значит, $$y=ax^2+bx.$$

Подставим точки $$(2;0)$$ и $$(3;3)$$:

$$\begin{cases} 4a+2b=0, \\ 9a+3b=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$2a+b=0$$, то есть $$b=-2a$$. Подставим во второе:

$$9a+3(-2a)=3$$

$$3a=3$$

$$a=1, \quad b=-2.$$

Следовательно,

$$y=x^2-2x.$$

2) Вершина параболы $$(1;3)$$, значит абсцисса вершины равна

$$-\frac{b}{2a}=1, \quad \text{то есть} \quad b=-2a.$$

Точка $$(-1;7)$$ принадлежит параболе, поэтому

$$a(-1)^2+b(-1)+c=7,$$

а для вершины имеем

$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=3.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a+b+c=3, \\ a-b+c=7, \\ b=-2a. \end{cases}$$

Подставим $$b=-2a$$:

$$\begin{cases} a-2a+c=3, \\ a+2a+c=7. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} -a+c=3, \\ 3a+c=7. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$4a=4, \quad a=1.$$

Тогда

$$b=-2, \quad c=4.$$

Следовательно,

$$y=x^2-2x+4.$$

3) Нули функции: $$x_1=1$$ и $$x_2=3$$, значит

$$y=a(x-1)(x-3).$$

Вершина параболы находится посередине между корнями, поэтому

$$x_0=\frac{1+3}{2}=2.$$

Наибольшее значение равно $$2$$, значит вершина имеет координаты $$(2;2)$$.

Подставим $$x=2$$:

$$2=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot (-1)=-a.$$

$$a=-2.$$

Тогда

$$y=-2(x-1)(x-3)=-2x^2+8x-6.$$

Ответ

1) $$x=2, \; x=9$$;

2) $$x=-4, \; x=3$$;

3) $$x=0, \; x=\frac12$$;

4) $$x=0, \; x=-\frac53$$;

5) $$x=\pm\frac12$$;

6) $$x=\pm\frac23$$;

7) $$x=\frac15$$;

8) $$x=-\frac13$$;

1) $$y=x^2-2x$$;

2) $$y=x^2-2x+4$$;

3) $$y=-2x^2+8x-6$$.