Упр.635 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. В уравнении $$(a-7)x^2+13x-a=0$$ один из корней равен $$2$$. Найти значение $$a$$ и второй корень уравнения.
2. Задание учебника 2013 года. Найти координаты точек пересечения графиков функций:
   1) $$y=x^2-4$$ и $$y=2x-4$$;
   2) $$y=x^2-2x-5$$ и $$y=2x^2+3x+1$$;
   3) $$y=x^2$$ и $$y=3x-2$$;
   4) $$y=x^2+x-2$$ и $$y=(x+3)(x-4)$$.

1) Пусть второй корень уравнения $$(a-7)x^2+13x-a=0$$ равен $$x_2$$, а один из корней $$x_1=2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{13}{a-7}, \qquad x_1x_2=-\frac{a}{a-7}.$$

Подставим $$x_1=2$$:

$$2+x_2=-\frac{13}{a-7}, \qquad 2x_2=-\frac{a}{a-7}.$$

Из первого равенства:

$$x_2=-\frac{13}{a-7}-2.$$

Подставим во второе:

$$2\left(-\frac{13}{a-7}-2\right)=-\frac{a}{a-7}.$$

$$\frac{2(1-2a)}{a-7}=-\frac{a}{a-7}$$

$$2-4a=-a$$

$$3a=2,\qquad a=\frac{2}{3}.$$

Теперь найдём второй корень:

$$x_2=-\frac{13}{\frac{2}{3}-7}-2=-\frac{13}{-\frac{19}{3}}-2=\frac{39}{19}-2=\frac{1}{19}.$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2-4$$ и $$y=2x-4$$:

$$x^2-4=2x-4$$

$$x^2-2x=0$$

$$x(x-2)=0$$

$$x_1=0,\qquad x_2=2.$$

Тогда:

$$y_1=0^2-4=-4,\qquad y_2=2\cdot 2-4=0.$$

Точки пересечения: $$(0;-4)$$ и $$(2;0)$$.

3) Для графиков $$y=x^2-2x-5$$ и $$y=2x^2+3x+1$$:

$$x^2-2x-5=2x^2+3x+1$$

$$x^2+5x+6=0$$

$$(x+2)(x+3)=0$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=-3.$$

Найдём ординаты:

$$y_1=(-2)^2-2\cdot(-2)-5=3,\qquad y_2=(-3)^2-2\cdot(-3)-5=10.$$

Точки пересечения: $$(-2;3)$$ и $$(-3;10)$$.

4) Для графиков $$y=x^2$$ и $$y=3x-2$$:

$$x^2=3x-2$$

$$x^2-3x+2=0$$

$$(x-1)(x-2)=0$$

$$x_1=1,\qquad x_2=2.$$

Тогда:

$$y_1=1^2=1,\qquad y_2=2^2=4.$$

Точки пересечения: $$(1;1)$$ и $$(2;4)$$.

5) Для графиков $$y=x^2+x-2$$ и $$y=(x+3)(x-4)$$:

$$x^2+x-2=(x+3)(x-4)$$

$$x^2+x-2=x^2-x-12$$

$$2x+10=0$$

$$x=-5.$$

Найдём ординату:

$$y=(-5)^2+(-5)-2=18.$$

Точка пересечения: $$(-5;18)$$.

Ответ

$$a=\frac{2}{3},\quad x_2=\frac{1}{19};$$
$$(0;-4),\ (2;0);$$
$$(-2;3),\ (-3;10);$$
$$(1;1),\ (2;4);$$
$$(-5;18).$$