Упр.631 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$ отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта $$B$$ отправился автобус. Автомобиль прибыл в $$B$$ через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в $$A$$ через 1,5 ч после их встречи. Найти скорости автомобиля и автобуса, если расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ равно 100 км (скорости автомобиля и автобуса постоянны).
- Определить знаки коэффициентов уравнения параболы $$y=ax^2+bx+c$$, если:
1) ветви параболы направлены вверх, абсцисса её вершины отрицательна, а ордината положительна;
2) ветви параболы направлены вниз, абсцисса и ордината её вершины отрицательны.
Пусть скорость автомобиля равна $$x$$ км/ч, а скорость автобуса — $$y$$ км/ч.
Автомобиль был в пути до встречи и после неё всего $$\frac{100}{x}$$ ч, автобус — $$\frac{100}{y}$$ ч.
После встречи автомобиль ехал ещё $$40$$ мин $$= \frac{2}{3}$$ ч, а автобус — ещё $$1{,}5$$ ч. Тогда до встречи автомобиль был в пути на $$1{,}5-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$$ ч меньше, чем автобус.
Составим уравнение:
$$\frac{100}{y}-\frac{100}{x}=\frac{5}{6}$$
или
$$600x-600y=5xy.$$
Из условия также:
$$\frac{100}{x}+\frac{2}{3}=\frac{100}{y}+1{,}5,$$
что приводит к тому же соотношению между скоростями. Решим полученное уравнение:
$$600x-600y=5xy$$
$$120x-120y=xy$$
$$x=\frac{120y}{120-y}.$$
Подставим в уравнение и получим квадратное уравнение для $$y$$:
$$y^2-240y+8000=0.$$
Найдём корни:
$$D=240^2-4\cdot 8000=6400,$$
$$\sqrt{D}=80,$$
$$y_1=\frac{240-80}{2}=40,\qquad y_2=\frac{240+80}{2}=160.$$
При $$y=160$$ получаем отрицательное значение $$x$$, поэтому этот корень не подходит. Тогда
$$y=40,$$
$$x=\frac{120\cdot 40}{120-40}=60.$$
Значит, скорость автомобиля $$60$$ км/ч, а скорость автобуса $$40$$ км/ч.
Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$:
Если ветви направлены вверх, то $$a>0$$. Абсцисса вершины отрицательна:
$$x_0=-\frac{b}{2a}<0.$$
Так как $$a>0$$, то $$b>0$$. Ордината вершины положительна, значит $$c>0$$.
Если ветви направлены вниз, то $$a<0$$. Абсцисса вершины отрицательна:
$$x_0=-\frac{b}{2a}<0.$$
Так как $$a<0$$, то $$b<0$$. Ордината вершины положительна, значит $$c>0$$.
Ответ
$$60$$ км/ч — скорость автомобиля, $$40$$ км/ч — скорость автобуса.
1) $$a>0,\ b>0,\ c>0$$;
2) $$a<0,\ b<0,\ c>0$$.
