Упр.570 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\x-y=16;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=1,\\x-y=5.\end{cases}$$
2. Сумма квадратов корней уравнения $$x^2+px-3=0$$ равна 10. Найти $$p$$.

1. Пусть $$a=\sqrt{x}$$ и $$b=\sqrt{y}$$. Тогда система
   $$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=8,\\ x-y=16 \end{cases}$$
   принимает вид
   $$\begin{cases} a+b=8,\\ a^2-b^2=16. \end{cases}$$
   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
   $$(a-b)\cdot 8=16,$$
   откуда
   $$a-b=2.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2. \end{cases}$$
   Получаем
   $$a=5,\quad b=3.$$
   Значит,
   $$x=a^2=25,\quad y=b^2=9.$$

2. Пусть $$a=\sqrt{x}$$ и $$b=\sqrt{y}$$. Тогда
   $$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=1,\\ x-y=5 \end{cases}$$
   переходит в
   $$\begin{cases} a-b=1,\\ a^2-b^2=5. \end{cases}$$
   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то
   $$1\cdot (a+b)=5,$$
   значит,
   $$a+b=5.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} a-b=1,\\ a+b=5. \end{cases}$$
   Тогда
   $$a=3,\quad b=2.$$
   Следовательно,
   $$x=a^2=9,\quad y=b^2=4.$$

3. Для уравнения $$x^2+px-3=0$$ по теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=-3.$$
   По условию
   $$x_1^2+x_2^2=10.$$
   Используем формулу
   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
   Тогда
   $$(-p)^2-2\cdot(-3)=10,$$
   $$p^2+6=10,$$
   $$p^2=4,$$
   $$p=\pm 2.$$

Ответ

1) $$x=25,\ y=9$$; 2) $$x=9,\ y=4$$; 3) $$p=\pm 2$$.