Упр.515 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Доказать, что уравнение $$x^2+px-1=0$$ при любом $$p$$ имеет два различных корня.
2. Решить систему уравнений:
   1. $$\begin{cases}x^2-y=7,\\x^2y=18;\end{cases}$$
   2. $$\begin{cases}2x^2+y=3,\\x^2y-1=0;\end{cases}$$
   3. $$\begin{cases}x^2-y^2=12,\\x^2+y^2=20;\end{cases}$$
   4. $$\begin{cases}x^2-y^2=21,\\x^2+y^2=29.\end{cases}$$

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+px-1=0.$$

Его дискриминант:

$$D=p^2-4\cdot 1\cdot(-1)=p^2+4.$$

Так как $$p^2+4>0$$ при любом $$p,$$ уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

2) Решим системы.

1. $$\begin{cases} x^2-y=7,\\ x^2y=18. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x^2=7+y.$$ Подставим во второе:

   $$(7+y)y=18$$

   $$y^2+7y-18=0$$

   $$(y-2)(y+9)=0$$

   Отсюда $$y=2$$ или $$y=-9.$$

   При $$y=2$$ имеем $$x^2=9,$$ значит $$x=3$$ или $$x=-3.$$

   При $$y=-9$$ получаем $$x^2=-2,$$ действительных решений нет.

   Ответ: $$(-3;2),\ (3;2).$$

2. $$\begin{cases} 2x^2+y=3,\\ x^2y-1=0. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$x^2=\dfrac{3-y}{2}.$$ Подставим во второе:

   $$\frac{3-y}{2}\,y-1=0$$

   $$3y-y^2-2=0$$

   $$y^2-3y+2=0$$

   $$(y-1)(y-2)=0$$

   Отсюда $$y=1$$ или $$y=2.$$

   Если $$y=2,$$ то $$x^2=\dfrac12,$$ значит $$x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}.$$

   Если $$y=1,$$ то $$x^2=1,$$ значит $$x=\pm1.$$

   Ответ: $$\left(\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$

3. $$\begin{cases} x^2-y^2=12,\\ x^2+y^2=20. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2x^2=32$$

   $$x^2=16$$

   Тогда $$x=4$$ или $$x=-4.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2y^2=8$$

   $$y^2=4$$

   Значит, $$y=2$$ или $$y=-2.$$

   Подходящие пары:

   $$(4;2),\ (4;-2),\ (-4;2),\ (-4;-2).$$

4. $$\begin{cases} x^2-y^2=21,\\ x^2+y^2=29. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2x^2=50$$

   $$x^2=25$$

   Значит, $$x=5$$ или $$x=-5.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$2y^2=8$$

   $$y^2=4$$

   Значит, $$y=2$$ или $$y=-2.$$

   Подходящие пары:

   $$(5;2),\ (5;-2),\ (-5;2),\ (-5;-2).$$

Ответ

Уравнение $$x^2+px-1=0$$ при любом $$p$$ имеет два различных действительных корня.

1) $$(-3;2),\ (3;2).$$

2) $$\left(\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ \left(-\dfrac{1}{\sqrt2};2\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$

3) $$(4;2),\ (4;-2),\ (-4;2),\ (-4;-2).$$

4) $$(5;2),\ (5;-2),\ (-5;2),\ (-5;-2).$$