Упр.489 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ значения данных дробей равны: 1) $$\frac{4x^2-3x}{3}$$ и $$\frac{x^2+5x}{2}$$; 2) $$\frac{3x^2+7x}{4}$$ и $$\frac{7x^2-5x}{3}$$?
2. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано $$\frac{2}{3}$$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать всё поле на 5 дней быстрее, чем вторым?

1. Приравняем дроби:

   $$\frac{4x^2-3x}{3}=\frac{x^2+5x}{2}$$

   Умножим обе части на $$6$$:

   $$2(4x^2-3x)=3(x^2+5x)$$

   $$8x^2-6x=3x^2+15x$$

   $$5x^2-21x=0$$

   $$x(5x-21)=0$$

   Отсюда:

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{21}{5}=4{,}2$$

2. Приравняем дроби:

   $$\frac{3x^2+7x}{4}=\frac{7x^2-5x}{3}$$

   Умножим обе части на $$12$$:

   $$3(3x^2+7x)=4(7x^2-5x)$$

   $$9x^2+21x=28x^2-20x$$

   $$19x^2-41x=0$$

   $$x(19x-41)=0$$

   Отсюда:

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{41}{19}=2\frac{3}{19}$$

3. Пусть вторым трактором поле вспахивают за $$x$$ дней, тогда первым — за $$x-5$$ дней.

   За 4 дня совместной работы они вспашут:

   $$4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}\right)=\frac{2}{3}$$

   Умножим на $$3x(x-5)$$:

   $$12(x-5)+12x=2x(x-5)$$

   $$12x-60+12x=2x^2-10x$$

   $$2x^2-34x+60=0$$

   $$x^2-17x+30=0$$

   $$D=17^2-4\cdot 30=169$$

   $$x=\frac{17\pm 13}{2}$$

   $$x_1=2,\quad x_2=15$$

   Так как $$x>5$$, подходит только $$x=15$$.

   Значит, вторым трактором поле можно вспахать за $$15$$ дней, а первым — за $$15-5=10$$ дней.

Ответ

1) $$x=0,\; x=4{,}2$$; 2) $$x=0,\; x=\frac{41}{19}$$; 3) первым трактором — $$10$$ дней, вторым — $$15$$ дней.