Упр.466 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Упростить выражение:
1) $$y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}$$ при: а) $$x<4$$; б) $$4\leq x\leq 6$$; в) $$x>6$$;
2) $$y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}$$ при: а) $$x<\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$$; в) $$x>\frac{1}{2}$$.
Не вычисляя корней $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$3x^2-8x-15=0$$, найти:
1) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$;
2) $$x_1^2+x_2^2$$;
3) $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$$;
4) $$x_1^3+x_2^3$$.
1) $$y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}=\sqrt{(x-4)^2}+\sqrt{(x-6)^2}=|x-4|+|x-6|.$$
а) При $$x<4$$ имеем $$|x-4|=4-x,\quad |x-6|=6-x,$$ значит
$$y=4-x+6-x=10-2x.$$
б) При $$4\le x\le 6$$ имеем $$|x-4|=x-4,\quad |x-6|=6-x,$$ значит
$$y=x-4+6-x=2.$$
в) При $$x>6$$ имеем $$|x-4|=x-4,\quad |x-6|=x-6,$$ значит
$$y=x-4+x-6=2x-10.$$
2) $$y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}=\sqrt{(2x-1)^2}+\sqrt{(3x-1)^2}=|2x-1|+|3x-1|.$$
а) При $$x<\frac13$$ имеем $$|2x-1|=1-2x,\quad |3x-1|=1-3x,$$ значит
$$y=1-2x+1-3x=2-5x.$$
б) При $$\frac13\le x\le \frac12$$ имеем $$|2x-1|=1-2x,\quad |3x-1|=3x-1,$$ значит
$$y=1-2x+3x-1=x.$$
в) При $$x>\frac12$$ имеем $$|2x-1|=2x-1,\quad |3x-1|=3x-1,$$ значит
$$y=2x-1+3x-1=5x-2.$$
3) Для уравнения $$3x^2-8x-15=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=\frac83,\qquad x_1x_2=-5.$$
1) $$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac83}{-5}=-\frac8{15}.$$
2) $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac83\right)^2-2(-5)=\frac{64}{9}+10=\frac{154}{9}.$$
3) $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{154}{9}}{-5}=-\frac{154}{45}.$$
4) $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$
Так как $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2,$$ то
$$x_1^3+x_2^3=\frac83\left(\left(\frac83\right)^2-3(-5)\right)=\frac83\left(\frac{64}{9}+15\right)=\frac83\cdot\frac{199}{9}=\frac{1592}{27}.$$
Ответ
1) а) $$10-2x$$; б) $$2$$; в) $$2x-10$$.
2) а) $$2-5x$$; б) $$x$$; в) $$5x-2$$.
3) 1) $$-\frac8{15}$$; 2) $$\frac{154}{9}$$; 3) $$-\frac{154}{45}$$; 4) $$\frac{1592}{27}$$.
