Упр.167 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a>1$$. Доказать, что: 1) $$a^3>a$$; 2) $$a^5>a^2$$.
2. Доказать, что: 1) $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$ при любых $$a$$ и $$b$$; 2) $$|a^n|=|a|^n$$ при любом $$a$$ и любом натуральном $$n$$; 3) $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$$ при любом $$a$$ и любом $$b\ne0$$; 4) $$|a^n|=a^n$$ при любом $$a$$, если $$n$$ — чётное натуральное число; 5) $$|a^n|=-a^n$$, если $$a<0$$ и $$n$$ — нечётное натуральное число.

1) Пусть $$a>1$$. Тогда

$$a^3-a>0 \\ a(a^2-1)>0 \\ a(a-1)(a+1)>0.$$

Так как $$a>1$$, то $$a>0$$, $$a-1>0$$ и $$a+1>0$$. Следовательно, $$a^3>a$$.

Аналогично:

$$a^5-a^2>0 \\ a^2(a^3-1)>0 \\ a^2(a-1)(a^2+a+1)>0.$$

При $$a>1$$ имеем $$a^2>0$$, $$a-1>0$$ и $$a^2+a+1>0$$, значит, $$a^5>a^2$$.

2) Докажем свойства модуля.

$$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$
при любых $$a$$ и $$b$$, так как модуль произведения равен произведению модулей.

$$|a^n|=|a|^n$$
при любом $$a$$ и любом натуральном $$n$$: при возведении в натуральную степень модуль каждого множителя перемножается $$n$$ раз.

$$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$$
при любом $$a$$ и любом $$b\ne 0$$, поскольку модуль частного равен частному модулей.

Если $$n$$ — чётное натуральное число, то $$a^n\ge 0$$, поэтому

$$|a^n|=a^n.$$

Если $$a\le 0$$ и $$n$$ — нечётное натуральное число, то $$a^n\le 0$$, значит

$$|a^n|=-a^n.$$

Ответ

$$a^3>a,\quad a^5>a^2.$$

$$|ab|=|a||b|,\quad |a^n|=|a|^n,\quad \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\ (b\ne 0),\quad |a^n|=a^n\ \text{при чётном }n,\quad |a^n|=-a^n\ \text{при }a\le 0,\ \text{нечётном }n.$$