Упр.127 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Сравнить значения выражения $$\frac{a^2}{(1+a)^2}\cdot\left(\frac{1}{a^3}+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a}\right)$$:

1) при $$a=235$$ и $$a=785$$;

2) при $$a=-0{,}8$$ и $$a=-\frac{5}{6}$$.
На одной координатной плоскости изображены графики двух линейных функций (рис. 16). Указать значения $$x$$, если они существуют, при которых значения обеих функций одновременно положительны; отрицательны.

Подробный ответ

Упростим выражение:

$$\frac{a^2}{(1+a)^2}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a}\right) = \frac{a^2}{(1+a)^2}\cdot \frac{1+2a+a^2}{a^3} = \frac{a^2}{(1+a)^2}\cdot \frac{(1+a)^2}{a^3} = \frac{1}{a}.$$

Теперь сравним значения выражения в каждом пункте.

При $$a=235$$ и $$a=785$$ получаем:
$$\frac{1}{235} > \frac{1}{785}.$$
Значит, при $$a=235$$ значение выражения больше.
При $$a=-0{,}8$$ и $$a=-\frac{5}{6}$$ имеем:
$$\frac{1}{-0{,}8}=-1{,}25,\qquad \frac{1}{-\frac{5}{6}}=-\frac{6}{5}=-1{,}2.$$
Так как $$-1{,}25<-1{,}2$$, то при $$a=-0{,}8$$ значение выражения меньше.

Для графиков двух линейных функций по рисунку получаем:

а) $$y_1>0$$ и $$y_2>0$$ при $$x>1$$; $$y_1<0$$ и $$y_2<0$$ при $$x<-3$$.

б) $$y_1>0$$ и $$y_2>0$$ при $$-3<x<1$$; $$y_1<0$$ и $$y_2<0$$ — нет таких $$x$$.

в) $$y_1>0$$ и $$y_2>0$$ при $$x<-1$$; $$y_1<0$$ и $$y_2<0$$ при $$x>4$$.

г) $$y_1>0$$ и $$y_2>0$$ при $$-5<x<0$$; $$y_1<0$$ и $$y_2<0$$ — нет таких $$x$$.