Упр.96 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. Доказать, что если $$a^3+b^3+c^3+abc=0$$, $$a+b\ne0$$, $$b+c\ne0$$ и $$c+a\ne0$$, то $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$$.
2. Задание учебника 2013 года. Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:
   1) $$4(y-1)<2+7y$$; 2) $$4y-9>3(y-2)$$;
   3) $$3(x-2)-2x<4x+1$$; 4) $$6x+1\ne2(x-1)-3x$$.

Докажем тождество:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a(c+a)(a+b)+b(a+b)(b+c)+c(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(c+a)(a+b)=a(ac+ab+a^2+ab)=a^2c+a^2b+ab^2+abc,$$
$$b(a+b)(b+c)=b(ab+ac+b^2+bc)=ab^2+abc+b^3+b^2c,$$
$$c(b+c)(c+a)=c(bc+ac+c^2+ab)=bc^2+ac^2+c^3+abc.$$

Тогда числитель равен

$$a^3+b^3+c^3+abc+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc.$$

Сгруппируем так:

$$(a^3+b^3+c^3+abc)+(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc).$$

По условию $$a^3+b^3+c^3+abc=0$$, значит числитель становится

$$a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc.$$

Но это и есть раскрытие произведения

$$(a+b)(b+c)(c+a).$$

Следовательно,

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1.$$

Теперь найдём наименьшее целое решение каждого неравенства.

1. $$4(y-1)<2+7y$$

   $$4y-4<2+7y$$
   $$-3y<6$$
   $$y>-2.$$

   Наименьшее целое решение: $$y=-1$$.

2. $$4y-9>3(y-2)$$

   $$4y-9>3y-6$$
   $$y>3.$$

   Наименьшее целое решение: $$y=4$$.

3. $$3(x-2)-2x<4x+1$$

   $$3x-6-2x<4x+1$$
   $$x-6<4x+1$$
   $$-3x<7$$
   $$x>-\frac{7}{3}.$$

   Наименьшее целое решение: $$x=-2$$.

4. $$6x+1\ge 2(x-1)-3x$$

   $$6x+1\ge 2x-2-3x$$
   $$6x+1\ge -x-2$$
   $$7x\ge -3$$
   $$x\ge -\frac{3}{7}.$$

   Наименьшее целое решение: $$x=0$$.

Ответ

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1;$$
наименьшие целые решения: 1) $$-1$$, 2) $$4$$, 3) $$-2$$, 4) $$0$$.