Упр.83 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2024 года. Найти значение выражения:
а) $$\frac{2x}{4x^2-y^2}-\frac{1}{2x+y}-\frac{y}{4x^2-y^2}$$ при $$x=0{,}37$$; $$y=-1{,}4$$;
б) $$\frac{x^2-1}{x}\cdot\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1+x}+1\right)$$ при $$x=\frac{1}{2}$$. - Задание учебника 2013 года. Доказать, что:
а) $$4x^2+1?4x$$ при любом $$x$$;
б) $$a+\frac{1}{a}?2$$ при $$a>0$$;
в) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}?2$$, если $$ab>0$$;
г) $$\frac{1}{a}?\frac{1}{b}$$, если $$a?b$$ и $$ab>0$$;
д) $$\frac{1}{a}?\frac{1}{b}$$, если $$a?b$$ и $$ab<0$$;
е) $$a^2+b^2?\frac{1}{2}$$, если $$a+b=1$$.
$$\frac{2x}{4x^2-y^2}-\frac{1}{2x+y}-\frac{y}{4x^2-y^2}= \frac{2x}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x+y}-\frac{y}{(2x-y)(2x+y)}$$
$$= \frac{2x-(2x-y)-y}{(2x-y)(2x+y)}= \frac{2x-2x+y-y}{(2x-y)(2x+y)}=0.$$
Значение выражения не зависит от значений переменных, если $$4x^2-y^2\ne 0$$.
При $$x=0{,}37$$, $$y=-1{,}4$$:
$$4x^2-y^2=4\cdot 0{,}37^2-(-1{,}4)^2=4\cdot 0{,}1369-1{,}96=0{,}5476-1{,}96\ne 0.$$Следовательно, значение выражения равно $$0$$.
$$\frac{x^2-1}{x}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1+x}+1\right)$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1+x}+1= \frac{(1+x)-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}.$$Тогда
$$\frac{(1+x)-(x-1)+(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{1+x-x+1+x^2-1}{x^2-1} =\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$Получаем:
$$\frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{x}.$$При $$x=\frac12$$:
$$\frac{x^2+1}{x}=\frac{\left(\frac12\right)^2+1}{\frac12} =\frac{\frac14+1}{\frac12} =\frac54\cdot 2=\frac52=2{,}5.$$$$4x^2+1\ge 4x$$
$$4x^2-4x+1\ge 0$$
$$\left(2x-1\right)^2\ge 0,$$
что верно при любом $$x$$.$$a+\frac1a\ge 2,\quad a>0$$
$$a+\frac1a-2\ge 0$$
$$\frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0$$
$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$Так как $$a>0$$ и $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$, то
$$a+\frac1a\ge 2.$$$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2,\quad ab>0$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0$$
$$\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge 0$$
$$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$Так как $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$ и $$ab>0$$, то
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$$$\frac1a\le \frac1b,\quad a\ge b,\ ab>0$$
$$\frac1a-\frac1b\le 0$$
$$\frac{b-a}{ab}\le 0.$$Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$, а $$ab>0$$. Значит,
$$\frac1a\le \frac1b.$$$$\frac1a\ge \frac1b,\quad a\ge b,\ ab<0$$
$$\frac1a-\frac1b\ge 0$$
$$\frac{b-a}{ab}\ge 0.$$Так как $$a\ge b$$, то $$b-a\le 0$$, а $$ab<0$$. Следовательно,
$$\frac1a\ge \frac1b.$$$$a^2+b^2\ge \frac12,\quad a+b=1$$
Пусть $$a=1-b$$. Тогда
$$a^2+b^2=(1-b)^2+b^2=1-2b+2b^2.$$Рассмотрим разность:
$$a^2+b^2-\frac12=1-2b+2b^2-\frac12=\frac{4b^2-4b+1}{2}=\frac{(2b-1)^2}{2}\ge 0.$$Значит,
$$a^2+b^2\ge \frac12.$$
Ответ
1) $$0$$; 2) $$2{,}5$$; 3) верно; 4) верно; 5) верно; 6) верно; 7) верно.
