Упр.21 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2024 года. Упростить:
   1) $$\frac{a^2b-ab^2}{a^2-ab}$$;
   2) $$\frac{2a^2-4a}{4a-8}$$;
   3) $$\frac{2x^3y+2xy^3}{x^2+y^2}$$;
   4) $$\frac{x^4y^2-x^2y^4}{x^2(x+y)}$$.
2. Задание учебника 2013 года. Решить уравнение:
   1) $$\frac{x^2-4}{x-2}=0$$;
   2) $$\frac{x^2-1}{x-1}=0$$;
   3) $$\frac{x^2+5x}{x}=0$$;
   4) $$\frac{x-3x^2}{x}=0$$.

1. $$\frac{a^2b-ab^2}{a^2-ab}=\frac{ab(a-b)}{a(a-b)}=b.$$

2. $$\frac{2a^2-4a}{4a-8}=\frac{2a(a-2)}{4(a-2)}=\frac{a}{2}.$$

3. $$\frac{2x^3y+2xy^3}{x^2+y^2}=\frac{2xy(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=2xy.$$

4. $$\frac{x^4y^2-x^2y^4}{x^2(x+y)}=\frac{x^2y^2(x^2-y^2)}{x^2(x+y)}=\frac{y^2(x-y)(x+y)}{x+y}=y^2(x-y).$$

5. $$\frac{x^2-4}{x-2}=0,$$
   значит, числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x-2\ne 0,\quad x\ne 2,$$
   $$x^2-4=0,$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0.$$

   Отсюда $$x=2$$ или $$x=-2$$, но $$x=2$$ не подходит. Значит, $$x=-2.$$

6. $$\frac{x^2-1}{x-1}=0,$$
   поэтому

   $$x-1\ne 0,\quad x\ne 1,$$
   $$x^2-1=0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=-1$$, но $$x=1$$ не подходит. Значит, $$x=-1.$$

7. $$\frac{x^2+5x}{x}=0,$$
   значит,

   $$x\ne 0,$$
   $$x^2+5x=0,$$
   $$x(x+5)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=-5$$, но $$x=0$$ не подходит. Значит, $$x=-5.$$

8. $$\frac{x-3x^2}{x}=0,$$
   поэтому

   $$x\ne 0,$$
   $$x-3x^2=0,$$
   $$x(1-3x)=0.$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$1-3x=0$$, но $$x=0$$ не подходит. Тогда
   $$1-3x=0,\quad x=\frac13.$$

Ответ

1) $$b$$; 2) $$\frac{a}{2}$$; 3) $$2xy$$; 4) $$y^2(x-y)$$; 5) $$x=-2$$; 6) $$x=-1$$; 7) $$x=-5$$; 8) $$x=\frac13$$.