Упр.4.68 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)
Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности, заданных уравнениями, и проиллюстрируйте результат графически: а) $$y=\frac{3}{4}x$$ и $$x^2+y^2=25$$; б) $$x+y=6$$ и $$x^2+y^2=20$$; в) $$y=-\frac{2}{3}x$$ и $$x^2+y^2=13$$; г) $$x-y=0$$ и $$x^2+y^2=16$$.
а) $$y=\frac{3}{4}x,\quad x^2+y^2=25$$
Подставим $$y=\frac{3}{4}x$$ в уравнение окружности:
$$x^2+\left(\frac{3}{4}x\right)^2=25$$
$$x^2+\frac{9}{16}x^2=25$$
$$\frac{25}{16}x^2=25,\quad x^2=16,\quad x=\pm 4$$
Тогда
$$y=\frac{3}{4}\cdot 4=3,\quad y=\frac{3}{4}\cdot(-4)=-3$$
Точки пересечения: $$(-4;\,-3)$$ и $$(4;\,3)$$.
б) $$x+y=6,\quad x^2+y^2=20$$
Из первого уравнения: $$y=6-x$$.
Подставим во второе:
$$x^2+(6-x)^2=20$$
$$x^2+36-12x+x^2=20$$
$$2x^2-12x+16=0$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$(x-2)(x-4)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=4$$
Тогда
$$y=6-2=4,\quad y=6-4=2$$
Точки пересечения: $$(2;\,4)$$ и $$(4;\,2)$$.
в) $$y=-\frac{2}{3}x,\quad x^2+y^2=13$$
Подставим $$y=-\frac{2}{3}x$$:
$$x^2+\left(-\frac{2}{3}x\right)^2=13$$
$$x^2+\frac{4}{9}x^2=13$$
$$\frac{13}{9}x^2=13,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3$$
Тогда
$$y=-\frac{2}{3}\cdot(-3)=2,\quad y=-\frac{2}{3}\cdot 3=-2$$
Точки пересечения: $$(-3;\,2)$$ и $$(3;\,-2)$$.
г) $$x-y=0,\quad x^2+y^2=16$$
Из первого уравнения: $$y=x$$.
Подставим во второе:
$$x^2+x^2=16$$
$$2x^2=16,\quad x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt{2}$$
Так как $$y=x$$, получаем точки:
$$(-2\sqrt{2};\,-2\sqrt{2}) \text{ и } (2\sqrt{2};\,2\sqrt{2})$$
Ответ
а) $$(-4;\,-3)$$ и $$(4;\,3)$$; б) $$(2;\,4)$$ и $$(4;\,2)$$; в) $$(-3;\,2)$$ и $$(3;\,-2)$$; г) $$(-2\sqrt{2};\,-2\sqrt{2})$$ и $$(2\sqrt{2};\,2\sqrt{2})$$.
