Упр.4.59 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Объясните, почему данная система не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений (в этом случае приведите примеры решений системы):

а) $$\begin{cases} x+y=3, \\ x+y=1; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x-2y=4, \\ x-2y=0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} y-x=5, \\ 2y-2x=10; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3x+y=1, \\ 6x+2y=12; \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} x-3y=6, \\ 3x-9y=-9; \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} 4x+2y=2, \\ x+0{,}5y=0{,}5. \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Сравним уравнения:
$$\begin{cases} x+y=3 \\ x+y=1 \end{cases}$$
Левые части одинаковые, а правые разные. Значит, система не имеет решений.
б) Получаем:
$$\begin{cases} x-2y=4 \\ x-2y=0 \end{cases}$$
Левые части одинаковые, правые разные, поэтому решений нет.
в) Второе уравнение является следствием первого:
$$\begin{cases} y-x=5 \\ 2y-2x=10 \end{cases}$$
Если разделить второе уравнение на $$2$$, получим первое. Значит, обе записи задают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечно много решений.
Например, подходят пары:
$$(x,y)=(0,5),\ (1,6),\ (2,7)$$
г) Разделим второе уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} 3x+y=1 \\ 6x+2y=12 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3x+y=1 \\ 3x+y=6 \end{cases}$$
Левые части одинаковые, правые разные, значит, система не имеет решений.
д) Разделим второе уравнение на $$3$$:
$$\begin{cases} x-3y=6 \\ 3x-9y=-9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x-3y=6 \\ x-3y=-3 \end{cases}$$
Левые части одинаковые, правые разные, поэтому решений нет.
е) Разделим первое уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} 4x+2y=2 \\ x+0{,}5y=0{,}5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2x+y=1 \\ 2x+y=1 \end{cases}$$
Оба уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.
Например, решениями являются пары:
$$(0;1),\ \left(\frac12;0\right),\ (1;-1)$$