Упр.4.109 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Постройте множество точек плоскости, которое задается системой неравенств:

1. $$\begin{cases} y? \frac{1}{3}x \\ y?6 \\ y?0 \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} y?x-1 \\ y?x+1 \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} y?|x| \\ y?5 \end{cases}$$
4. $$\begin{cases} y?-x+4 \\ y?x-4 \\ y?\frac{1}{4}x+2 \end{cases}$$

1. а) Система задаёт пересечение полуплоскостей:

   $$y \ge \frac13x,\quad y \le 6,\quad y \ge 0.$$

   Так как прямая $$y=\frac13x$$ проходит через начало координат и лежит выше оси $$Ox$$ при $$x \ge 0$$, то область решения — часть плоскости, расположенная выше прямой $$y=\frac13x$$ и ниже прямой $$y=6$$.

2. б) Имеем:

   $$y \ge x-1,\quad y \le x+1.$$

   Это полоса между параллельными прямыми $$y=x-1$$ и $$y=x+1$$, включая обе границы.

3. в) Система:

   $$y \ge |x|,\quad y \le 5.$$

   Значит, нужно взять точки, лежащие выше графика $$y=|x|$$ и ниже прямой $$y=5$$. Получается область внутри «угла» $$y=|x|$$, отсечённая сверху прямой $$y=5$$.

4. г) Система:

   $$y \ge -x+4,\quad y \ge x-4,\quad y \le \frac14x+2.$$

   Область решения — пересечение полуплоскостей: выше прямых $$y=-x+4$$ и $$y=x-4$$, но ниже прямой $$y=\frac14x+2$$.

   Точки пересечения границ:

   $$-x+4=x-4 \Rightarrow x=4,\ y=0,$$

   $$-x+4=\frac14x+2 \Rightarrow x=\frac85,\ y=\frac{12}{5},$$

   $$x-4=\frac14x+2 \Rightarrow x=8,\ y=4.$$

   Следовательно, искомая область — треугольник с вершинами $$\left(\frac85,\frac{12}{5}\right),\ (4,0),\ (8,4).$$

Ответ

а) Область выше прямой $$y=\frac13x$$, ниже прямой $$y=6$$ и выше оси $$Ox$$.

б) Полоса между прямыми $$y=x-1$$ и $$y=x+1$$.

в) Область выше графика $$y=|x|$$ и ниже прямой $$y=5$$.

г) Треугольник с вершинами $$\left(\frac85,\frac{12}{5}\right),\ (4,0),\ (8,4).$$