Упр.2.159 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что верно равенство: $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1.$$
2. Упростите выражение:
   а) $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}};$$
   б) $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1,\quad \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2,\quad \frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}=\sqrt4-\sqrt3,\quad \frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}=\sqrt5-\sqrt4.$$

Складывая, получаем:

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+(\sqrt5-\sqrt4)=\sqrt5-1.$$

Аналогично для суммы в пункте а):

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=10-1=9.$$

Для пункта б):

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt n}$$

$$=(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(\sqrt n-\sqrt{n-1})=\sqrt n-1.$$

Ответ

1) $$\sqrt5-1$$

2) а) $$9$$; б) $$\sqrt n-1$$