Упр.1.89 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Выполните действия:

1. а) $$\frac{n-n^2}{2+n}\cdot\frac{1}{2n-n^2}\cdot\frac{n^2-4}{n-1}$$; б) $$\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot\frac{1}{(y-x)^3}$$.

а) Разложим на множители:

$$\frac{n-n^2}{2+n}\cdot \frac{1}{2n-n^2}\cdot \frac{n^2-4}{n-1} = \frac{n(1-n)}{n+2}\cdot \frac{1}{n(2-n)}\cdot \frac{(n-2)(n+2)}{n-1}$$

Сократим одинаковые множители:
$$\frac{n(1-n)}{n+2}\cdot \frac{1}{n(2-n)}\cdot \frac{(n-2)(n+2)}{n-1}=1.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{x+y}{x^3-y^3}\cdot \frac{1}{(y-x)^3} = \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x^3-y^3}{x+y}\cdot \frac{1}{(y-x)^3}$$

Разложим разности кубов и квадратов на множители:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y), \qquad x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$

Тогда

$$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y}\cdot \frac{1}{(y-x)^3} = \frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}.$$

Так как $$x-y=-(y-x),$$ то

$$\frac{(x-y)^2}{(y-x)^3}=\frac{1}{y-x}.$$

Ответ

а) $$1$$;
б) $$\frac{1}{y-x}$$.