Упр.1.102 ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:
а) $$\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b}\right)$$ отрицательны;
б) $$\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\left(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}\right)$$ неотрицательны.

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}-\frac{b}{a^2-ab}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2+ab}-\frac{1}{a+b}\right)$$
$$=\left(\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}-\frac{b}{a(a-b)}\right)\cdot\left(\frac{a}{b(a+b)}-\frac{1}{a+b}\right)$$
$$=\left(\frac{b^2-b(a+b)}{a(a^2-b^2)}\right)\cdot\left(\frac{a-b}{b(a+b)}\right)$$
$$=\left(\frac{-b(a-b)}{a(a-b)(a+b)}\right)\cdot\left(\frac{a-b}{b(a+b)}\right) =-\frac{1}{(a+b)^2}.$$

Так как $$(a+b)^2>0$$ при всех допустимых значениях переменных, то

$$-\frac{1}{(a+b)^2}<0.$$
Следовательно, выражение отрицательно.

б) Упростим выражение:

$$\frac{x^3-y^3}{2x+2y}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\left(\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}\right)$$
$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{2(x+y)}\cdot\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}:\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}$$
$$=\frac{(x-y)(x+y)}{2}\cdot\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2+(x-y)^2}$$
$$=\frac{(x^2-y^2)^2}{2\bigl((x+y)^2+(x-y)^2\bigr)}.$$

Так как

$$(x+y)^2+(x-y)^2=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2),$$
то

$$\frac{(x^2-y^2)^2}{2\bigl((x+y)^2+(x-y)^2\bigr)} =\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}\ge 0.$$

Следовательно, выражение неотрицательно при всех допустимых значениях переменных.