Упр.739(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

Задача

а) Число диагоналей $$p$$ выпуклого многоугольника является функцией числа его вершин $$n$$. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента $$n$$ и функции $$p$$. Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.
б) Среди учащихся восьмых классов школы провели шахматную олимпиаду, в которой каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Число сыгранных партий $$r$$ является функцией числа участников олимпиады $$m$$. Задайте эту функцию формулой. Какова область определения этой функции? Заполните таблицу. Как можно прокомментировать данные таблицы?

Подробный ответ

а) Каждая вершина выпуклого многоугольника соединяется диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме самой вершины и двух соседних. Поэтому из каждой вершины выходит $$n-3$$ диагонали. Но каждая диагональ считается дважды, значит

$$p=\frac{n(n-3)}{2}.$$

Область определения: $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 4.$$

Заполним таблицу:

$$n$$	$$5$$	$$7$$	$$10$$	$$12$$
$$p$$	$$5$$	$$14$$	$$35$$	$$54$$

Геометрический смысл: в пятиугольнике $$5$$ диагоналей, в семиугольнике $$14$$ диагоналей, в десятиугольнике $$35$$ диагоналей, в двенадцатиугольнике $$54$$ диагонали.

б) Каждый участник сыграл с каждым другим по одной партии. Число партий равно числу пар участников, то есть

$$r=\frac{m(m-1)}{2}.$$

Область определения: $$m\in \mathbb{N},\ m\ge 2.$$

Заполним таблицу:

$$m$$	$$5$$	$$6$$	$$8$$	$$11$$
$$r$$	$$10$$	$$15$$	$$28$$	$$55$$

Комментарий к таблице: если участников было $$5$$, то сыграли $$10$$ партий; если $$6$$ участников — $$15$$ партий; если $$8$$ участников — $$28$$ партий; если $$11$$ участников — $$55$$ партий.