Упр.209(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 8 класс (Алгебра)

• Докажите, что:
  а) $$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd};$$
  б) $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8};$$
  в) $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1.$$

1. а) Приведём левую часть к общему знаменателю $$abcd$$:

   $$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}$$
   $$=\frac{abcd+bcd+cd(1+a)+d(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd}.$$

   Сгруппируем числитель:

   $$bcd+cd(1+a)=cd(1+a+b),$$
   $$d(1+a)(1+b)+(1+a)(1+b)(1+c)=(1+a)(1+b)(d+1+c).$$

   Удобнее заметить, что при последовательном раскрытии скобок получается:

   $$abcd+bcd+acd+abd+cd+abc+abd+acd+bd+ad+bc+ab+d+c+b+a+1$$
   $$=(1+a)(1+b)(1+c)(1+d).$$

   Значит,

   $$1+\frac{1}{a}+\frac{1+a}{ab}+\frac{(1+a)(1+b)}{abc}+\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abcd} =\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}.$$

2. б) Используем формулы разности квадратов:

   $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}=\frac{(1+a)+(1-a)}{(1-a)(1+a)}=\frac{2}{1-a^2}.$$

   Тогда левая часть равна

   $$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}.$$

   Сложим первые два слагаемых:

   $$\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2} =\frac{2(1+a^2)+2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} =\frac{4}{1-a^4}.$$

   Теперь

   $$\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{4(1+a^4)+4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} =\frac{8}{1-a^8}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4} =\frac{8}{1-a^8}.$$

3. в) Приведём дроби к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:

   $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$$
   $$=\frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)$$
   $$=b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2.$$

   Сгруппируем:

   $$=c(b^2-a^2)-c^2(b-a)-ab(b-a)$$
   $$=(b-a)\bigl(c(b+a)-c^2-ab\bigr).$$

   Далее

   $$c(b+a)-c^2-ab=bc+ac-c^2-ab=(b-c)(a-c).$$

   Тогда

   $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} =\frac{(b-a)(b-c)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1.$$

Ответ

а) $$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}{abcd}$$; б) $$\frac{8}{1-a^8}$$; в) $$1$$.