Упр.984 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Из «Арифметики» Диофанта (III в.). Решите уравнение $$\left(b+x\right)a=\frac{(a+b)x+(a+x)b}{2}$$, где $$x$$ — неизвестное, а $$a$$ и $$b$$ — известные числа. Определите, при каком условии: а) уравнение имеет единственный корень; б) уравнение не имеет корней; в) корнем уравнения является любое число $$x$$.

Преобразуем уравнение:

$$(b+x)a=\frac{(a+b)x+(a+x)b}{2}$$

Раскроем скобки:

$$ab+ax=\frac{ax+bx+ab+bx}{2}$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$2ab+2ax=ax+2bx+ab$$

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные — в правую:

$$2ax-ax-2bx=ab-2ab$$

$$ax-2bx=-ab$$

$$x(a-2b)=-ab$$

Если $$a-2b\neq 0$$, то

$$x=\frac{-ab}{a-2b}=\frac{ab}{2b-a}$$

Теперь рассмотрим случаи:

• если $$a\neq 2b$$, уравнение имеет единственный корень;
• если $$a=2b$$ и $$b\neq 0$$, получаем противоречие, значит корней нет;
• если $$a=2b$$ и $$b=0$$, то $$a=0$$, и уравнение обращается в тождество, значит $$x$$ — любое число.

Ответ

$$x=\frac{ab}{2b-a}$$

а) при $$a\neq 2b$$;

б) при $$a=2b,\ b\neq 0$$;

в) при $$a=2b,\ b=0$$.