Упр.960 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество Л. Эйлера:

$$a^3+b^3+\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3.$$

Преобразуем левую часть:

$$a^3+b^3+\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3 = a^3+b^3+\frac{b^3(2a^3+b^3)^3}{(a^3-b^3)^3}.$$

Сделаем замену:

$$x=a^3,\quad y=b^3.$$

Тогда нужно доказать равенство

$$x+y+\frac{y(2x+y)^3}{(x-y)^3}=\frac{x(x+2y)^3}{(x-y)^3}.$$

Раскроем кубы:

$$(2x+y)^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3,$$

$$(x+2y)^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3.$$

Умножим обе части на $$(x-y)^3$$:

$$(x+y)(x-y)^3+y(2x+y)^3=x(x+2y)^3.$$

Раскроем скобки в левой части:

$$(x+y)(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)+y(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3)$$

$$= x^4+6x^3y+12x^2y^2+8xy^3.$$

Правая часть тоже равна

$$x(x+2y)^3=x(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3) = x^4+6x^3y+12x^2y^2+8xy^3.$$

Следовательно,

$$x+y+\frac{y(2x+y)^3}{(x-y)^3}=\frac{x(x+2y)^3}{(x-y)^3},$$

а значит, и исходное тождество верно.

Ответ

Тождество доказано.