Упр.926 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что при любом целом $$n$$ выражение:
а) $$(n-2)^3-\left(n^3+(n-3)^2-10\right)$$ равно $$2$$;
б) $$(5+3n)^2(4-n)-n\left(96-(3n-1)^2\right)$$ равно $$100$$;
в) $$(6n+7)^2-2(n-3)(6n+7)+(n-3)^2$$ кратно $$5$$;
г) $$(2n+7)^2-2(2n+7)(2n-3)+(2n-3)^2$$ кратно $$10$$.

Подробный ответ

а) Раскроем скобки и приведём подобные:

$$(n-2)^3-(n(3+(n-3)^2)-10)$$
$$=(n^3-6n^2+12n-8)-\bigl(n(3+n^2-6n+9)-10\bigr)$$
$$=(n^3-6n^2+12n-8)-\bigl(n^3-6n^2+12n-10\bigr)$$
$$=n^3-6n^2+12n-8-n^3+6n^2-12n+10=2.$$
Значит, выражение равно $$2$$ при любом целом $$n$$.

б) Аналогично:

$$(5+3n)^2(4-n)-n(96-(3n-1)^2)$$
$$=(25+30n+9n^2)(4-n)-n(96-9n^2+6n-1)$$
$$=(25+30n+9n^2)(4-n)-n(95-9n^2+6n)$$
$$=100+120n+36n^2-25n-30n^2-9n^3-95n+9n^3-6n^2$$
$$=100.$$
Следовательно, выражение равно $$100$$ при любом целом $$n$$.

в)

$$(6n+7)^2-2(n-3)(6n+7)+(n-3)^2$$
$$=\bigl((6n+7)-(n-3)\bigr)^2$$
$$=(5n+10)^2=25(n+2)^2.$$
Так как число $$25(n+2)^2$$ делится на $$5$$, то данное выражение кратно $$5$$.

г)

$$(2n+7)^2-2(2n+7)(2n-3)+(2n-3)^2$$
$$=\bigl((2n+7)-(2n-3)\bigr)^2$$
$$=10^2=100.$$
Число $$100$$ кратно $$10$$.