Упр.921 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если выражение $$3a+4b+5c$$, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — целые числа, делится на 11, то и $$9a+b+4c$$ делится на 11.

Пусть $$3a+4b+5c$$ делится на $$11$$. Тогда существует целое число $$k$$ такое, что

$$3a+4b+5c=11k.$$

Преобразуем выражение $$9a+b+4c$$:

$$\begin{aligned} 9a+b+4c &= (3a+4b+5c)+(3a+3a-3b-c)+(3a-4b-5c) \\ &= 2(3a+4b+5c)+3a-7b-6c \\ &= 2(3a+4b+5c)+(3a+4b+5c)-11b-11c \\ &= 3(3a+4b+5c)-11(b+c). \end{aligned}$$

Так как $$3a+4b+5c$$ делится на $$11$$, то и $$3(3a+4b+5c)$$ делится на $$11$$. Кроме того, $$11(b+c)$$ тоже делится на $$11$$. Значит, их разность

$$9a+b+4c=3(3a+4b+5c)-11(b+c)$$

делится на $$11$$.

Ответ

$$9a+b+4c$$ делится на $$11$$.