Упр.912 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   а) $$\left(2x+y-3z\right)^2-\left(x-2y+2z\right)^2$$;
   
   б) $$\left(m-4n+5z\right)^2-\left(3m-n-3k\right)^2$$;
   
   в) $$\left(4-2p+q^2\right)^2-\left(3p^2-5q+7\right)^2$$;
   
   г) $$\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b-c\right)^2+\left(b-a-c\right)^2+\left(c-a-b\right)^2$$.

1. Используем формулу разности квадратов: $$A^2-B^2=(A-B)(A+B).$$

   $$(2x+y-3z)^2-(x-2y+2z)^2$$
   $$=(2x+y-3z-(x-2y+2z))(2x+y-3z+(x-2y+2z))$$
   $$=(x+3y-5z)(3x-y-z).$$
   Раскроем скобки:
   $$(x+3y-5z)(3x-y-z)=3x^2+8xy-16xz-3y^2+2yz+5z^2.$$

2. $$(m-4n+5z)^2-(3m-n-3k)^2$$
   $$=(m-4n+5z-(3m-n-3k))(m-4n+5z+(3m-n-3k))$$
   $$=(-2m-3n+5z+3k)(4m-5n+5z-3k).$$
   Раскроем скобки:
   $$-8m^2-2mn+10mz+18mk+15n^2-40nz-6nk+25z^2-9k^2.$$

3. $$(4-2p+q^2)^2-(3p^2-5q+7)^2$$
   $$=(4-2p+q^2-(3p^2-5q+7))(4-2p+q^2+(3p^2-5q+7))$$
   $$=(q^2-3p^2+5q-2p-3)(q^2+3p^2-5q-2p+11).$$
   После раскрытия скобок получаем:
   $$q^4-4pq^2-17q^2-9p^4+30p^2q-38p^2+85q-16p-33.$$

4. $$(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-a-c)^2+(c-a-b)^2$$
   $$=(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) +(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc)$$
   $$+(a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc) +(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc).$$
   Сложим подобные слагаемые:
   $$4a^2+4b^2+4c^2=4(a^2+b^2+c^2).$$

Ответ

а) $$3x^2+8xy-16xz-3y^2+2yz+5z^2$$

б) $$-8m^2-2mn+10mz+18mk+15n^2-40nz-6nk+25z^2-9k^2$$

в) $$q^4-4pq^2-17q^2-9p^4+30p^2q-38p^2+85q-16p-33$$

г) $$4(a^2+b^2+c^2)$$