Упр.631 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)
а) С помощью треугольника Паскаля запишите в стандартном виде шестую и седьмую степень двучлена $$(a+b)$$.
б) Убедитесь, что сумма чисел $$n$$-й строки треугольника Паскаля равна $$2^n$$. Выполните проверку от $$n=1$$ до $$n=10$$.
а) Коэффициенты при разложении двучлена по треугольнику Паскаля для шестой и седьмой степеней равны:
$$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$$
$$(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$$
б) Пусть в $$n$$-й строке треугольника Паскаля стоят числа $$s_0,s_1,s_2,\dots,s_n.$$ Тогда в следующей строке числа имеют вид $$s_0,\; s_0+s_1,\; s_1+s_2,\; \dots,\; s_{n-1}+s_n,\; s_n.$$
Сумма чисел следующей строки равна
$$s_0+(s_0+s_1)+(s_1+s_2)+\dots+(s_{n-1}+s_n)+s_n =2(s_0+s_1+s_2+\dots+s_n).$$
Значит, при переходе к каждой следующей строке сумма удваивается. Так как в 0-й строке сумма равна $$1=2^0,$$ то сумма чисел $$n$$-й строки равна $$2^n.$$
Проверка для $$n=1,\dots,10$$:
$$\begin{aligned} 1&:\; 1+1=2=2^1,\\ 2&:\; 1+2+1=4=2^2,\\ 3&:\; 1+3+3+1=8=2^3,\\ 4&:\; 1+4+6+4+1=16=2^4,\\ 5&:\; 1+5+10+10+5+1=32=2^5,\\ 6&:\; 1+6+15+20+15+6+1=64=2^6,\\ 7&:\; 1+7+21+35+35+21+7+1=128=2^7,\\ 8&:\; 1+8+28+56+70+56+28+8+1=256=2^8,\\ 9&:\; 1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512=2^9,\\ 10&:\; 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1=1024=2^{10}. \end{aligned}$$
Ответ
$$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$$
$$(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$$
Сумма чисел $$n$$-й строки треугольника Паскаля равна $$2^n.$$
