Упр.626 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите $$\operatorname{НОД}(A,B)$$, если:
   а) $$A=x^3-2x^2+2x-1,\quad B=x^3-2x^2+1$$;
   б) $$A=x^3-2x^2+2x-1,\quad B=x^3-1$$;
   в) $$A=x^5-x^4-x^3+2x^2-x,\quad B=x^5-x^4+x^3-x$$;
   г) $$A=x^4-5x^3+7x^2-3x,\quad B=x^2-4x+3$$.

1. а) Разложим многочлены на множители:

   $$A=x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)$$

   $$B=x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)$$

   Общий множитель: $$x-1$$.

2. б)

   $$A=x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)$$

   $$B=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

   Общий множитель: $$x-1$$.

3. в)

   $$A=x^5-x^4-x^3+2x^2-x=x(x^4-x^3-x^2+2x-1)$$

   $$B=x^5-x^4+x^3-x=x(x^4-x^3+x^2-1)$$

   Оба многочлена делятся на $$x$$, а также на $$x^2-x$$:

   $$A=x(x-1)(x^3-x-1), \qquad B=x(x-1)(x^3+x+1)$$

   Общий множитель: $$x^2-x$$.

4. г)

   $$A=x^4-5x^3+7x^2-3x=x(x^3-5x^2+7x-3)$$

   Проверим делимость на $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$:

   $$x^4-5x^3+7x^2-3x=(x^2-4x+3)(x^2-x)$$

   Значит, $$B=x^2-4x+3$$ является общим множителем.

Ответ

а) $$x-1$$; б) $$x-1$$; в) $$x^2-x$$; г) $$x^2-4x+3$$.