Упр.588 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a\ne0$$ и $$m,n,k$$ — целые числа, то:
   а) $$(abc)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n$$;
   б) $$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n+k}$$;
   в) $$\left((a^m)^n\right)^k=a^{mnk}$$.

Используем свойства степеней с одинаковым основанием и свойство степени произведения.

1. Докажем, что $$(abc)^n=a^n b^n c^n.$$

   По свойству степени произведения имеем:

   $$(abc)^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n.$$

2. Докажем, что $$a^m \cdot a^n \cdot a^k=a^{m+n+k}.$$

   По свойству умножения степеней с одинаковым основанием:

   $$a^m \cdot a^n=a^{m+n},$$

   тогда

   $$a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}.$$

3. Докажем, что $$\bigl((a^m)^n\bigr)^k=a^{mnk}.$$

   Сначала применим правило возведения степени в степень:

   $$(a^m)^n=a^{mn}.$$

   Тогда

   $$\bigl((a^m)^n\bigr)^k=(a^{mn})^k=a^{mnk}.$$

Ответ: $$(abc)^n=a^n b^n c^n, \quad a^m \cdot a^n \cdot a^k=a^{m+n+k}, \quad \bigl((a^m)^n\bigr)^k=a^{mnk}.$$