Упр.446 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)$$; б) $$\left(2+1\right)\left(2^2+2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)+\frac{1}{2^{64}}$$; в) $$\left(3+2\right)\left(3^2+2^2\right)\left(3^4+2^4\right)\left(3^8+2^8\right)\left(3^{16}+2^{16}\right)\left(3^{32}+2^{32}\right)+\frac{2^{64}}{3^{64}}$$.

а) Используем формулу разности квадратов несколько раз:

$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$$
$$=(2^{32}-1)(2^{32}+1)=2^{64}-1.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1}{2^{64}}$$
$$=\frac{(2^{64}-1)+1}{2^{64}} =\frac{2^{64}}{2^{64}}=1.$$

в) Аналогично:

$$\frac{(3+2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}$$
$$=\frac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}$$
$$=\frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}$$
$$=\frac{(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}$$
$$=\frac{(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}}$$
$$=\frac{(3^{32}-2^{32})(3^{32}+2^{32})+2^{64}}{3^{64}} =\frac{3^{64}-2^{64}+2^{64}}{3^{64}}=1.$$

Ответ

а) $$2^{64}-1$$; б) $$1$$; в) $$1$$.