Упр.373 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любых чисел $$x$$ и $$y$$ верно неравенство:
   а) $$x^2+y^2-8x+4y+20\geq 0$$;
   б) $$x^2+y^2+12x-6y+45\geq 0$$;
   в) $$x^2+y^2-6x+10y+34\geq 0$$;
   г) $$x^2+y^2+10x-10y+50\geq 0$$.

1. а)

   $$x^2+y^2-8x+4y+20=(x^2-8x+16)+(y^2+4y+4)-16-4+20$$
   $$=(x-4)^2+(y+2)^2\ge 0.$$

2. б)

   $$x^2+y^2+12x-6y+45=(x^2+12x+36)+(y^2-6y+9)-36-9+45$$
   $$=(x+6)^2+(y-3)^2\ge 0.$$

3. в)

   $$x^2+y^2-6x+10y+34=(x^2-6x+9)+(y^2+10y+25)-9-25+34$$
   $$=(x-3)^2+(y+5)^2\ge 0.$$

4. г)

   $$x^2+y^2+10x-10y+50=(x^2+10x+25)+(y^2-10y+25)-25-25+50$$
   $$=(x+5)^2+(y-5)^2\ge 0.$$

Во всех случаях получена сумма двух квадратов, а она неотрицательна при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ

а) $$x^2+y^2-8x+4y+20\ge 0$$; б) $$x^2+y^2+12x-6y+45\ge 0$$; в) $$x^2+y^2-6x+10y+34\ge 0$$; г) $$x^2+y^2+10x-10y+50\ge 0$$.