Упр.39.12 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите наиболее рациональным способом:
а) $$\frac{910}{137^2-123^2}$$;
в) $$\frac{324^2-36^2}{1440}$$;
б) $$\frac{40{,}7^2-40{,}6^2}{32{,}3^2-5{,}2^2}$$;
г) $$\frac{51{,}3^2-11{,}3^2}{113{,}9^2-73{,}9^2}$$.
Дана вторая строка таблицы распределения. Найдите значение $$x$$ и заполните строку числами:
е) Могут ли во второй строке стоять числа $$a<b<c<d<S$$, каждое из которых отличается от предыдущего на одно и то же число?

Подробный ответ

Используем формулу разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

$$\frac{910}{137^2-123^2}=\frac{910}{(137-123)(137+123)}=\frac{910}{14\cdot260}=\frac{91}{14\cdot26}=\frac{7\cdot13}{14\cdot26}=\frac{1}{4}.$$
$$\frac{40{,}7^2-40{,}6^2}{32{,}3^2-5{,}2^2}=\frac{(40{,}7-40{,}6)(40{,}7+40{,}6)}{(32{,}3-5{,}2)(32{,}3+5{,}2)}=\frac{0{,}1\cdot81{,}3}{27{,}1\cdot37{,}5}=\frac{1\cdot813}{271\cdot375}=\frac{3}{125}.$$
$$\frac{324^2-36^2}{1440}=\frac{(324-36)(324+36)}{1440}=\frac{288\cdot360}{1440}=\frac{288\cdot36}{144}=\frac{2\cdot36}{1}=72.$$
$$\frac{51{,}3^2-11{,}3^2}{113{,}9^2-73{,}9^2}=\frac{(51{,}3-11{,}3)(51{,}3+11{,}3)}{(113{,}9-73{,}9)(113{,}9+73{,}9)}=\frac{40\cdot62{,}6}{40\cdot187{,}8}=\frac{626}{1878}=\frac{1}{3}.$$

В пункте е) пусть каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и то же число $$x$$. Тогда

$$b=a+x,\quad c=a+2x,\quad d=a+3x,\quad S=a+4x.$$

Если во второй строке стоят числа $$a<b<c<d<S$$, то сумма первых четырёх чисел равна пятому:

$$a+b+c+d=S.$$

Подставим выражения:

$$a+(a+x)+(a+2x)+(a+3x)=a+4x,$$
$$4a+6x=a+4x,$$
$$3a+2x=0.$$

При $$a>0$$ и $$x>0$$ это невозможно. Значит, такие числа стоять не могут.