Дополнительная задача 5 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

В упражнениях 5, 6 Катя выбирает одночлен из списка № 1, Кира выбирает одночлен из списка № 2, а Ксения верно перемножает их и приводит произведение к стандартному виду. Сколько различных одночленов может получиться у Ксении, если:
а) № 1 = $$\{x, x^5\}$$, № 2 = $$\{x^2, x^3\}$$;
б) № 1 = $$\{y, y^5, y^{10}\}$$, № 2 = $$\{y^{15}, y^{20}\}$$;
в) № 1 = $$\{3, 4c^7\}$$, № 2 = $$\{4, 5, c^2\}$$;
г) № 1 = $$\{a, 2a^3, 3a^7\}$$, № 2 = $$\{5, a^8\}$$;
д) № 1 = $$\{x^2, x^4\}$$, № 2 = $$\{x, x^3\}$$;
е) № 1 = $$\{z, z^2, z^3\}$$, № 2 = $$\{z, z^2, z^3\}$$?
Для целых чисел докажите, что:
а) если числа последовательные, то разность их квадратов нечётна;
б) если числа различаются на $$2$$, то разность их квадратов кратна $$4$$;
в) если числа различаются на $$4$$, то разность их квадратов кратна $$8$$;
г) если числа различаются на $$k$$, то разность их квадратов кратна $$k$$;
д) если числа различаются на $$2k$$, то разность их квадратов кратна $$4k$$;
е) если числа различаются на нечётное число, то разность их квадратов нечётна.

Подробный ответ

а) $$\{x, x^5\}, \ \{x^2, x^3\}$$
Возможные произведения:
$$x \cdot x^2 = x^3$$
$$x \cdot x^3 = x^4$$
$$x^5 \cdot x^2 = x^7$$
$$x^5 \cdot x^3 = x^8$$
Получается $$4$$ различных одночлена.
б) $$\{y, y^5, y^{10}\}, \ \{y^{15}, y^{20}\}$$
Возможные произведения:
$$y \cdot y^{15} = y^{16}$$
$$y \cdot y^{20} = y^{21}$$
$$y^5 \cdot y^{15} = y^{20}$$
$$y^5 \cdot y^{20} = y^{25}$$
$$y^{10} \cdot y^{15} = y^{25}$$
$$y^{10} \cdot y^{20} = y^{30}$$
Получается $$5$$ различных одночленов.
в) $$\{3, 4c^7\}, \ \{4, 5, c^2\}$$
Возможные произведения:
$$3 \cdot 4 = 12$$
$$3 \cdot 5 = 15$$
$$3 \cdot c^2 = 3c^2$$
$$4c^7 \cdot 4 = 16c^7$$
$$4c^7 \cdot 5 = 20c^7$$
$$4c^7 \cdot c^2 = 4c^9$$
Получается $$6$$ различных одночленов.
г) $$\{a, 2a^3, 3a^7\}, \ \{5, a^8\}$$
Возможные произведения:
$$a \cdot 5 = 5a$$
$$a \cdot a^8 = a^9$$
$$2a^3 \cdot 5 = 10a^3$$
$$2a^3 \cdot a^8 = 2a^{11}$$
$$3a^7 \cdot 5 = 15a^7$$
$$3a^7 \cdot a^8 = 3a^{15}$$
Получается $$6$$ различных одночленов.
д) $$\{x^2, x^4\}, \ \{x, x^3\}$$
Возможные произведения:
$$x^2 \cdot x = x^3$$
$$x^2 \cdot x^3 = x^5$$
$$x^4 \cdot x = x^5$$
$$x^4 \cdot x^3 = x^7$$
Различных одночленов $$3$$.
е) $$\{z, z^2, z^3\}, \ \{z, z^2, z^3\}$$
Возможные произведения:
$$z \cdot z = z^2$$
$$z \cdot z^2 = z^3$$
$$z \cdot z^3 = z^4$$
$$z^2 \cdot z = z^3$$
$$z^2 \cdot z^2 = z^4$$
$$z^2 \cdot z^3 = z^5$$
$$z^3 \cdot z = z^4$$
$$z^3 \cdot z^2 = z^5$$
$$z^3 \cdot z^3 = z^6$$
Получается $$5$$ различных одночленов.

а) Пусть числа последовательные, то есть $$n$$ и $$n+1$$.
Тогда
$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$
Это нечётное число.
б) Пусть числа $$n$$ и $$n+2$$.
Тогда
$$(n+2)^2-n^2=n^2+4n+4-n^2=4n+4=4(n+1)$$
Значит, разность кратна $$4$$.
в) Пусть числа $$n$$ и $$n+4$$.
Тогда
$$(n+4)^2-n^2=n^2+8n+16-n^2=8n+16=8(n+2)$$
Значит, разность кратна $$8$$.
г) Пусть числа $$n$$ и $$n+k$$.
Тогда
$$(n+k)^2-n^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2nk+k^2=k(2n+k)$$
Следовательно, разность кратна $$k$$.
д) Пусть числа $$n$$ и $$n+2k$$.
Тогда
$$(n+2k)^2-n^2=n^2+4nk+4k^2-n^2=4nk+4k^2=4k(n+k)$$
Следовательно, разность кратна $$4k$$.
е) Пусть числа $$n$$ и $$n+(2k+1)$$, где $$2k+1$$ — нечётное число.
Тогда
$$(n+2k+1)^2-n^2=n^2+2n(2k+1)+(2k+1)^2-n^2$$
$$=2n(2k+1)+4k^2+4k+1$$
$$=2\bigl(n(2k+1)+2k^2+2k\bigr)+1$$
Это нечётное число.