Упр.23.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

К набору чисел $$1, 1, \ldots, 1, 2, \ldots, 2$$ приписывают $$n$$ чисел, равных $$3$$. Найдите медиану полученного ряда при: а) $$n = 1$$; б) $$n = 2$$; в) $$n = 5$$; г) $$n = 9$$; д) $$n = 10$$; е) $$n = 30$$.
Постройте график данной функции.
а) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } -3\leq x\leq -1,\\-x, & \text{если } -1 б) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}-x, & \text{если } x\leq 1,\\x^2, & \text{если } 1 в) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}-x^2, & \text{если } x<1,\\-2x+1, & \text{если } x\geq 1;\end{cases}$$
г) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}-x^2, & \text{если } -3\leq x\leq -1,\\x-2, & \text{если } -1 д) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}-x-2, & \text{если } x\leq -1,\\-x^2, & \text{если } -1 е) $$y=f(x), \quad f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x+3, & \text{если } x<-2,\\x^2, & \text{если } x\geq -2.\end{cases}$$

Подробный ответ

В ряду чисел сначала идут 20 единиц, затем 10 двоек, затем $$n$$ троек.

Найдём медиану для каждого случая. Если число элементов нечётное, медиана — средний элемент ряда. Если чётное, медиана — среднее арифметическое двух средних элементов.

а) При $$n=1$$ всего $$20+10+1=31$$ число, средний элемент — 16-й. Он равен $$1$$, значит медиана равна $$1$$.
б) При $$n=2$$ всего $$32$$ числа, средние — 16-е и 17-е. Оба равны $$1$$, значит медиана:
$$\frac{1+1}{2}=1.$$
в) При $$n=5$$ всего $$35$$ чисел, средний элемент — 18-й. Он равен $$1$$, значит медиана равна $$1$$.
г) При $$n=9$$ всего $$39$$ чисел, средний элемент — 20-й. Он равен $$1$$, значит медиана равна $$1$$.
д) При $$n=10$$ всего $$40$$ чисел, средние — 20-е и 21-е. Это $$1$$ и $$2$$, значит медиана:
$$\frac{1+2}{2}=1{,}5.$$
е) При $$n=30$$ всего $$60$$ чисел, средние — 30-е и 31-е. Это $$2$$ и $$3$$, значит медиана:
$$\frac{2+3}{2}=2{,}5.$$

Для построения графиков отмечаем на координатной плоскости графики каждой части функции на указанном промежутке и ставим закрашенные точки в концах отрезков, если граница входит в область определения, и пустые точки, если не входит.

$$f(x)=\begin{cases} x^2, & -3\le x\le -1,\\ -x, & -1<x\le 3 \end{cases}$$
На отрезке $$[-3;-1]$$ строим часть параболы $$y=x^2$$, на промежутке $$(-1;3]$$ — отрезок прямой $$y=-x$$.
$$f(x)=\begin{cases} -x, & x\le 1,\\ x^2, & 1<x\le 3 \end{cases}$$
Сначала строим прямую $$y=-x$$ при $$x\le 1$$, затем часть параболы $$y=x^2$$ при $$1<x\le 3$$.
$$f(x)=\begin{cases} -x^2, & x<1,\\ -2x+1, & x\ge 1 \end{cases}$$
Слева от $$x=1$$ строим ветвь параболы $$y=-x^2$$, справа и в точке $$x=1$$ — прямую $$y=-2x+1$$.
$$f(x)=\begin{cases} -x^2, & -3\le x\le -1,\\ x-2, & -1<x\le 4 \end{cases}$$
На $$[-3;-1]$$ строим часть параболы $$y=-x^2$$, на $$(-1;4]$$ — отрезок прямой $$y=x-2$$.
$$f(x)=\begin{cases} -x-2, & x\le -1,\\ -x^2, & -1<x\le 3 \end{cases}$$
Слева от $$x=-1$$ строим прямую $$y=-x-2$$, справа — часть параболы $$y=-x^2$$.
$$f(x)=\begin{cases} -\frac12x+3, & x<-2,\\ x^2, & x\ge -2 \end{cases}$$
При $$x<-2$$ строим прямую $$y=-\frac12x+3$$, а при $$x\ge -2$$ — параболу $$y=x^2$$.