Дополнительная задача 10 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Имеются два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка — $$2\ \text{кг}$$, второго — $$3\ \text{кг}$$. Их сплавили вместе с $$5\ \text{кг}$$ третьего сплава цинка с медью, в котором цинка было $$45\%$$. В полученном сплаве цинка оказалось $$50\%$$. Если бы в первом сплаве процентное содержание цинка было таким, как во втором, а во втором таким, как в первом, то, сплавив эти два слитка с $$5\ \text{кг}$$ четвёртого сплава, в котором содержится $$60\%$$ цинка, получили бы сплав, в котором содержится $$55\%$$ цинка. Каково процентное содержание цинка в первом и во втором слитках?

Подробный ответ

Пусть в первом слитке содержится $$x\%$$ цинка, а во втором — $$y\%$$ цинка.

Тогда масса цинка в первом слитке равна $$0{,}02x$$ кг, а во втором — $$0{,}03y$$ кг.

В третьем сплаве содержится $$5 \cdot 0{,}45 = 2{,}25$$ кг цинка. После сплавления всех трёх сплавов масса полученного сплава равна $$2+3+5=10$$ кг, а цинка в нём $$50\%$$, то есть $$0{,}5 \cdot 10 = 5$$ кг.

Получаем первое уравнение:

$$0{,}02x+0{,}03y+2{,}25=5.$$

Если бы в первом сплаве было $$y\%$$ цинка, а во втором — $$x\%$$, то масса цинка в них была бы соответственно $$0{,}02y$$ кг и $$0{,}03x$$ кг. В четвёртом сплаве содержится $$5 \cdot 0{,}6 = 3$$ кг цинка. В полученном сплаве массой $$10$$ кг цинка было бы $$55\%$$, то есть $$0{,}55 \cdot 10 = 5{,}5$$ кг.

Получаем второе уравнение:

$$0{,}02y+0{,}03x+3=5{,}5.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} 0{,}02x+0{,}03y=2{,}75,\\ 0{,}02y+0{,}03x=2{,}5. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$100$$, второе — на $$100$$:

$$\begin{cases} 2x+3y=275,\\ 2y+3x=250. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:

$$\begin{cases} 6x+9y=825,\\ 4y+6x=500. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(6x+9y)-(6x+4y)=825-500$$

$$5y=325,\quad y=65.$$

Подставим в уравнение $$2y+3x=250$$: