Упр.806 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Упростить:

1. 1) $$(1-a)(1+a+a^2)+a^3$$; 2) $$(b+3)(b^2-3b+9)-27$$; 3) $$\left(\frac{1}{2}-c^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4\right)+c^6$$; 4) $$\left(2a^2+\frac{1}{3}\right)\left(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{27}$$.

1. $$(1-a)(1+a+a^2)+a^3$$
   
   Используем формулу разности кубов:
   $$(1-a)(1+a+a^2)=1-a^3$$
   Тогда
   $$1-a^3+a^3=1$$

2. $$(b+3)(b^2-3b+9)-27$$
   
   Используем формулу суммы кубов:
   $$(b+3)(b^2-3b+9)=b^3+27$$
   Тогда
   $$b^3+27-27=b^3$$

3. $$\left(\frac12-c^2\right)\left(\frac14+\frac12c^2+c^4\right)+c^6$$
   
   Заметим, что
   $$\frac14+\frac12c^2+c^4=\left(\frac12\right)^2+\frac12\cdot c^2+(c^2)^2$$
   Поэтому
   $$\left(\frac12-c^2\right)\left(\frac14+\frac12c^2+c^4\right)=\frac18-c^6$$
   Тогда
   $$\frac18-c^6+c^6=\frac18$$

4. $$\left(2a^2+\frac13\right)\left(4a^4-\frac23a^2+\frac19\right)-\frac1{27}$$
   
   Это формула суммы кубов:
   $$\left(2a^2+\frac13\right)\left(4a^4-\frac23a^2+\frac19\right)=8a^6+\frac1{27}$$
   Тогда
   $$8a^6+\frac1{27}-\frac1{27}=8a^6$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$b^3$$; 3) $$\frac18$$; 4) $$8a^6$$.