Упр.734 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

• Лодка прошла $$12\ \text{км}$$ по течению реки и обратно за $$2{,}5\ \text{ч}$$. В другой раз та же лодка за $$1\ \text{ч}\ 20\ \text{мин}$$ прошла по течению реки $$4\ \text{км}$$, а против течения $$8\ \text{км}$$. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
• Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье призовые места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек.

Обозначим: $$x$$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость лодки по течению равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.

По условию:

$$\frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=2{,}5=\frac{5}{2}$$

$$\frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=1\text{ ч }20\text{ мин}=\frac{4}{3}$$

Составим систему:

$$\begin{cases} \frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2},\\ \frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2(x^2-y^2)$$, а второе — на $$3(x^2-y^2)$$:

$$\begin{cases} 24(x-y)+24(x+y)=5(x^2-y^2),\\ 12(x-y)+24(x+y)=4(x^2-y^2). \end{cases}$$

Упростим:

$$\begin{cases} 48x=5(x^2-y^2),\\ 36x+12y=4(x^2-y^2). \end{cases}$$

Из второго уравнения, разделив на $$4$$, получаем:

$$9x+3y=x^2-y^2.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$48x=5(9x+3y)$$

$$48x=45x+15y$$

$$3x=15y$$

$$x=5y.$$

Подставим $$x=5y$$ во второе исходное уравнение:

$$\frac{4}{5y+y}+\frac{8}{5y-y}=\frac{4}{3}$$

$$\frac{4}{6y}+\frac{8}{4y}=\frac{4}{3}$$

$$\frac{2}{3y}+\frac{2}{y}=\frac{4}{3}$$

Умножим на $$3y$$:

$$2+6=4y$$

$$8=4y$$

$$y=2.$$

Тогда

$$x=5y=10.$$

Значит, скорость лодки в стоячей воде равна $$10$$ км/ч, а скорость течения реки — $$2$$ км/ч.

Теперь найдём число способов распределить первое, второе и третье места.

1) Если участвуют $$5$$ человек, то:

$$5\cdot 4\cdot 3=60.$$

2) Если участвуют $$6$$ человек, то:

$$6\cdot 5\cdot 4=120.$$

Ответ

$$10\text{ км/ч},\ 2\text{ км/ч};\ 60\text{ способов};\ 120\text{ способов}.$$