Упр.669 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Найти значения $$k$$ и $$b$$, если известно, что график функции $$y=kx+b$$ проходит через точки $$(2;10)$$ и $$(-7;-10)$$.
2. В три сосуда налита вода. Если половину воды из первого сосуда перелить во второй, затем $$\frac{1}{3}$$ часть воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и, наконец, $$\frac{1}{4}$$ часть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелить в первый, то в каждом сосуде станет по $$6$$ л. Сколько воды было в каждом сосуде до переливания?

1) Найдём коэффициенты функции $$y=kx+b$$, если график проходит через точки $$(2;10)$$ и $$(-7;-10)$$.

Подставим координаты точек в уравнение:

$$\begin{cases} 10=2k+b,\\ -10=-7k+b. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$-10-10=-7k-2k$$

$$-20=-9k$$

$$k=\frac{20}{9}.$$

Теперь найдём $$b$$:

$$10=2\cdot \frac{20}{9}+b$$

$$b=10-\frac{40}{9}=\frac{50}{9}.$$

2) Пусть в первом сосуде было $$x$$ л воды, во втором — $$y$$ л, в третьем — $$z$$ л.

После переливаний в сосудах стало по 6 л, значит составим систему.

После первого переливания:

в первом сосуде осталось $$x-\frac12x=\frac12x$$, во втором стало $$y+\frac12x$$.

После второго переливания:

во втором сосуде осталось

$$y+\frac12x-\frac13\left(y+\frac12x\right)=\frac23y+\frac13x,$$

в третьем стало

$$z+\frac13\left(y+\frac12x\right).$$

После третьего переливания:

в третьем сосуде осталось

$$z+\frac13\left(y+\frac12x\right)-\frac14\left(z+\frac13\left(y+\frac12x\right)\right) =\frac34z+\frac14y+\frac18x,$$

в первом стало

$$\frac12x+\frac14\left(z+\frac13\left(y+\frac12x\right)\right) =\frac{13}{24}x+\frac14z+\frac1{12}y.$$

Так как в каждом сосуде стало по 6 л, получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{13}{24}x+\frac14z+\frac1{12}y=6,\\ \frac23y+\frac13x=6,\\ \frac34z+\frac14y+\frac18x=6. \end{cases}$$

Умножим уравнения на 24, 3 и 8 соответственно:

$$\begin{cases} 13x+6z+2y=144,\\ 2y+x=18,\\ 6z+2y+x=48. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения третье:

$$12x=96,$$

откуда

$$x=8.$$

Подставим в второе уравнение:

$$2y+8=18,$$

$$2y=10,\quad y=5.$$

Подставим $$x=8$$ и $$y=5$$ в третье уравнение:

$$6z+2\cdot 5+8=48,$$

$$6z=30,\quad z=5.$$

Ответ

$$k=\frac{20}{9},\quad b=\frac{50}{9};$$ в сосудах было $$8$$ л, $$5$$ л и $$5$$ л.