Упр.553 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Доказать, что:
   1) $$(a-b)^2=(b-a)^2$$;
   2) $$(-a-b)^2=(a+b)^2$$;
   3) $$(-a-b)(a+b)=-(a+b)^2$$;
   4) $$(a-b)^3=-(b-a)^3$$;
   5) $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$.
2. Заполнить таблицу (перечертив ее в тетрадь).

1. Раскроем скобки в обеих частях равенства:

   $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$

   $$(b-a)^2=b^2-2ab+a^2.$$

   Так как слагаемые можно переставлять, то

   $$a^2-2ab+b^2=a^2-2ab+b^2.$$

   Значит, $$(a-b)^2=(b-a)^2.$$

2. Раскроем скобки:

   $$(-a-b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

   Следовательно, $$(-a-b)^2=(a+b)^2.$$

3. Вынесем минус за скобки:

   $$(-a-b)(a+b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2.$$

4. Используем формулу куба разности:

   $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,$$

   $$(b-a)^3=b^3-3b^2a+3ba^2-a^3.$$

   Тогда

   $$-(b-a)^3=-b^3+3b^2a-3ba^2+a^3.$$

   После перестановки слагаемых получаем

   $$-(b-a)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3.$$

   Значит, $$(a-b)^3=-(b-a)^3.$$

5. Раскроем квадрат суммы трёх слагаемых:

   $$(a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c).$$

   Перемножим:

   $$(a+b+c)(a+b+c)=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2.$$

   Соберём подобные слагаемые:

   $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$

Ответ

1) $$(a-b)^2=(b-a)^2$$; 2) $$(-a-b)^2=(a+b)^2$$; 3) $$(-a-b)(a+b)=-(a+b)^2$$; 4) $$(a-b)^3=-(b-a)^3$$; 5) $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$.