Упр.494 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

Вычислить: 1) $$|187|^2-187\cdot87$$; 2) $$|0{,}7|^3+0{,}7\cdot9{,}51$$; 3) $$|0{,}9|^3-0{,}81\cdot2{,}9$$.

Доказать, что при всех допустимых значениях $$a$$, $$b$$, $$x$$ и $$y$$ (н — натуральное число) верно равенство: 1) $$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot\frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}}=(a^n+b^n)^2$$; 2) $$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}}=\frac{1}{(x^n-y^n)^2}$$.

1) $$187^2-187\cdot 87=187(187-87)=187\cdot 100=18700.$$

2) $$0{,}7^3+0{,}7\cdot 9{,}51=0{,}7(0{,}7^2+9{,}51)=0{,}7(0{,}49+9{,}51)=0{,}7\cdot 10=7.$$

3) $$0{,}9^3-0{,}81\cdot 2{,}9=0{,}9^3-0{,}9^2\cdot 2{,}9=0{,}9^2(0{,}9-2{,}9)=0{,}81\cdot(-2)=-1{,}62.$$

1) $$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{a^{4n}-b^{4n}}{a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}}$$

Разложим на множители:

$$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n),$$

$$a^{4n}-b^{4n}=(a^{2n}-b^{2n})(a^{2n}+b^{2n}),$$

$$a^{2n}-2a^n b^n+b^{2n}=(a^n-b^n)^2.$$

Тогда

$$\frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^{2n}-b^{2n})(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2}$$

$$=\frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}{a^{2n}+b^{2n}}\cdot \frac{(a^n-b^n)(a^n+b^n)(a^{2n}+b^{2n})}{(a^n-b^n)^2}$$

$$=(a^n+b^n)^2.$$

2) $$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}:\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x^{2n}+y^{2n}}$$

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим разность квадратов:

$$\frac{(x^n+y^n)^2}{x^{4n}-y^{4n}}\cdot \frac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}}$$

$$=\frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})(x^{2n}+y^{2n})}\cdot \frac{x^{2n}+y^{2n}}{x^{2n}-y^{2n}}$$

$$=\frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2}.$$

Так как $$x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n),$$ то

$$\frac{(x^n+y^n)^2}{(x^{2n}-y^{2n})^2}=\frac{(x^n+y^n)^2}{(x^n-y^n)^2(x^n+y^n)^2}=\frac{1}{(x^n-y^n)^2}.$$

Ответ

1) $$18700$$; 2) $$7$$; 3) $$-1{,}62$$; 1) $$\left(a^n+b^n\right)^2$$; 2) $$\dfrac{1}{(x^n-y^n)^2}$$.