Упр.479 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)
Задание учебника 2023 года. Упростить ($$n$$ — натуральное число, $$n>4$$):
- $$\left(12\cdot5^{2n+1}-8\cdot5^{2n}+4\cdot5^{2n-1}\right):\left(4\cdot5^{2n-2}\right)$$;
- $$\left(36\cdot|18|^n-8\cdot2^{n-4}\cdot9^n-3^{n+1}\cdot6^{n+1}\right):|18|^{n-1}$$.
Задание учебника 2012 года. Упростить выражение, если $$n$$ — натуральное число:
- $$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}$$;
- $$\frac{a^n+b^n}{a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}$$.
$$\left(12\cdot 5^{2n+1}-8\cdot 5^{2n}+4\cdot 5^{2n-1}\right):\left(4\cdot 5^{2n-2}\right)$$
Разделим каждое слагаемое числителя на $$4\cdot 5^{2n-2}$$:
$$\frac{12\cdot 5^{2n+1}}{4\cdot 5^{2n-2}} -\frac{8\cdot 5^{2n}}{4\cdot 5^{2n-2}} +\frac{4\cdot 5^{2n-1}}{4\cdot 5^{2n-2}} =3\cdot 5^3-2\cdot 5^2+5$$
$$3\cdot 125-2\cdot 25+5=375-50+5=330$$
$$\left(36\cdot 18^n-8\cdot 2^{n-4}\cdot 9^n-3^{n+1}\cdot 6^{n+1}\right):18^{n-1}$$
Преобразуем каждое слагаемое:
$$\frac{36\cdot 18^n}{18^{n-1}}-\frac{8\cdot 2^{n-4}\cdot 9^n}{18^{n-1}}-\frac{3^{n+1}\cdot 6^{n+1}}{18^{n-1}}$$
$$=36\cdot 18-8\cdot 2^{-3}\cdot 9-18^2$$
$$=648-72\cdot \frac{1}{8}-324=648-9-324=315$$
$$\frac{1}{a^{2n}-b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}$$
Так как $$a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n)$$, получаем:
$$\frac{1}{(a^n-b^n)(a^n+b^n)}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n-b^n}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1+a^n-b^n-(a^n+b^n)}{a^{2n}-b^{2n}} =\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}}$$
$$\frac{a^n+b^n}{a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}$$
Заметим, что $$a^{2n}+2a^n b^n+b^{2n}=(a^n+b^n)^2$$. Тогда:
$$\frac{a^n+b^n}{(a^n+b^n)^2}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n} =\frac{1}{a^n+b^n}+\frac{1}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n}$$
$$=\frac{2}{a^n+b^n}-\frac{1}{a^n} =\frac{2a^n-(a^n+b^n)}{a^n(a^n+b^n)} =\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)}$$
Ответ
1) $$330$$;
2) $$315$$;
3) $$\frac{1-2b^n}{a^{2n}-b^{2n}}$$;
4) $$\frac{a^n-b^n}{a^n(a^n+b^n)}$$.
