Упр.313 ГДЗ Колягин Ткачёва 7 класс (Алгебра)

1. Выполнить действия:
   
   1) $$12\cdot|10|^2-5^3\cdot10$$;
   
   2) $$9^2\cdot2+200\cdot(0{,}1)^2$$;
   
   3) $$\left(\frac{1}{3}\right)^4\cdot27+(0{,}1)^5\cdot50\,000$$;
   
   4) $$|10|^3:40-\left(\frac{1}{4}\right)^3\cdot128$$.
2. Доказать, что если $$2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)$$, то $$a^2+b^2=2$$.

1. $$12\cdot 10^2-5^3\cdot 10=12\cdot 100-125\cdot 10=1200-1250=-50.$$
2. $$9^2\cdot 2+200\cdot (0{,}1)^2=81\cdot 2+200\cdot 0{,}01=162+2=164.$$
3. $$\left(\frac13\right)^4\cdot 27+(0{,}1)^5\cdot 50\,000 =\frac{1}{81}\cdot 27+0{,}00001\cdot 50\,000 =\frac13+0{,}5 =\frac13+\frac12 =\frac{2+3}{6} =\frac56.$$
4. $$10^3:40-\left(\frac14\right)^3\cdot 128=1000:40-\frac{1}{64}\cdot 128=25-2=23.$$

Докажем, что $$a^2+b^2=2.$$

Из условия
$$2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2).$$
Раскроем скобки:
$$2(ab+a+b+1)=a^2+2ab+b^2+2a+2b.$$
Тогда
$$2ab+2a+2b+2=a^2+2ab+b^2+2a+2b.$$
Вычтем из обеих частей $$2ab+2a+2b$$:
$$2=a^2+b^2.$$
Значит,
$$a^2+b^2=2.$$

Ответ

1) $$-50$$; 2) $$164$$; 3) $$\frac56$$; 4) $$23$$; $$a^2+b^2=2$$.