Упр.7.55 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что:
а) если из квадрата натурального числа вычесть квадрат предыдущего натурального числа, то получится сумма этих чисел;
б) если из квадрата чётного числа вычесть квадрат предыдущего чётного натурального числа, то получится удвоенная сумма этих чисел.
Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.
а) Пусть $$a$$ — данное натуральное число, тогда предыдущее число равно $$a-1$$.
Рассмотрим разность квадратов:
$$a^2-(a-1)^2=(a-(a-1))(a+(a-1))$$
$$=(1)(2a-1)=2a-1$$
С другой стороны, сумма этих чисел:
$$a+(a-1)=2a-1$$
Значит, $$a^2-(a-1)^2=a+(a-1)$$, что и требовалось доказать.
Пример: при $$a=10$$ имеем $$9$$ предыдущее число. Тогда
$$10^2-9^2=100-81=19,$$
$$10+9=19.$$
Следовательно, утверждение верно.
б) Пусть $$a$$ — данное чётное натуральное число, тогда предыдущее чётное натуральное число равно $$a-2$$.
Рассмотрим разность квадратов:
$$a^2-(a-2)^2=(a-(a-2))(a+(a-2))$$
$$=2(2a-2)=4a-4=4(a-1)$$
Сумма этих чисел равна:
$$a+(a-2)=2a-2$$
Тогда удвоенная сумма:
$$2(a+(a-2))=2(2a-2)=4a-4=4(a-1).$$
Значит, $$a^2-(a-2)^2=2(a+(a-2))$$, что и требовалось доказать.
Пример: при $$a=10$$ предыдущее чётное число равно $$8$$. Тогда
$$10^2-8^2=100-64=36,$$
$$2(10+8)=2\cdot 18=36.$$
Следовательно, утверждение верно.
Ответ
а) $$a^2-(a-1)^2=a+(a-1)$$; б) $$a^2-(a-2)^2=2(a+(a-2))$$.
